Ситуація

Деякі дослідники хотіли б укласти вас спати. Залежно від таємного кидання справедливої ​​монети, вони ненадовго пробудять вас або один раз (Голова), або двічі (Хвости). Після кожного пробудження вони повернуть вас спати з препаратом, який змушує забути це пробудження. Коли ви прокидаєтесь, до якої міри ви повинні вірити, що результатом відкидання монети був Глава?

(Гаразд, можливо, ви не хочете бути предметом цього експерименту! Припустимо, замість того, що Спляча красуня (СБ) погоджується на це (звичайно, з повним схваленням Інституційної комісії з огляду магічного королівства). Вона збирається перейти до спати сто років, тож які ще два чи два дні?)

[Деталь ілюстрації Максфілда Парріша .]

Ви півзахисник чи третина?

Позиція Халфера. Просто! Монета справедлива - і СБ це знає - тому вона повинна вірити, що є половина шансів на голову.

Позиція третьої частини. Якщо цей експеримент повторювали багато разів, тоді монета буде головою лише третини часу пробудження SB. Її ймовірність для голів складе третину.

У третіх є проблема

Більшість, але не всі люди, які писали про це, є третіми. Але:

• У неділю ввечері, перед тим, як СБ засне, вона мусить повірити, що шанс голови є половиною: ось що означає бути справедливою монетою.

• Щоразу, коли SB пробуджується, вона не дізнається абсолютно нічого, чого не знала в неділю вночі. Яку раціональну аргументацію вона може дати, якщо вона заявила, що її віра в голови зараз одна третина, а не половина?

Деякі спроби пояснень

• SB обов'язково втратила б гроші, якби вона зробила ставку на голови з будь-яким шансом, крім 1/3. (Vineberg, inter alios )

• Половина справді правильна: просто використовуйте евереттівську «багатосвітове» тлумачення квантової механіки! (Льюїс).

• СБ оновлює свою віру на основі самосприйняття свого «часового розташування» у світі. (Ельга, ia )

• СБ розгублена: "[Це] здається більш правдоподібним сказати, що її епістемічний стан після пробудження не повинен містити певної міри віри в голови. … Справжнє питання полягає в тому, як вирішувати відомі, неминучі, когнітивні несправності. ”[Арценіус]

---

Питання

Зважаючи на те, що вже написано на цю тему (див. Посилання, а також попередній пост ), як можна вирішити цей парадокс статистично суворим способом? Це навіть можливо?

---

Список літератури

Арнценій, Франк (2002). Роздуми про аналіз спячої краси 62,1 стор 53-62.

Бредлі, діджей (2010). Підтвердження у розгалужувальному світі: тлумачення Еверета і спляча красуня . Брит. Дж. Філ. Наук. 0 (2010), 1–21.

Ельга, Адам (2000). Переконання в самостійному розміщенні та проблема сплячої краси. Аналіз 60 pp 143-7.

Franceschi, Paul (2005). Спляча красуня та проблема зменшення світу . Переддрук.

Гройсман, Беррі (2007). Кінець кошмару сплячої красуні . Переддрук.

Льюїс, D (2001). Спляча красуня: відповідь Ельзі . Аналіз 61,3 с. 171-6.

Папіно, Давид та Віктор Дура-Віла (2008). Третина і еверетянин: відповідь на "Квантову сплячу красуню" Льюїса .

Пуст, Джоель (2008). Хорган про сплячу красуню . Синтеза 160 с. 97-101.

Винеберг, Сьюзен (без дат, можливо, 2003). Застереження про красуню про красу .

Стратегія

Я хотів би застосувати раціональну теорію рішень до аналізу, оскільки це єдиний усталений спосіб досягти жорсткості у вирішенні проблеми статистичного рішення. Намагаючись зробити це, одна особлива проблема виявляється особливою: зміна свідомості СБ.

• Теорія раціональних рішень не має механізму впоратися із зміненими психічними станами.

• Просимо СБ про її довіру до монети, ми одночасно ставимося до неї дещо самореференційно як до предмета (експерименту СБ), так і до експериментатора (щодо монети).

Давайте змінимо експеримент несуттєвим способом: замість введення препарату для знищення пам'яті підготуйте стійкий клон Сплячої красуні перед початком експерименту. (Це ключова ідея, оскільки вона допомагає нам протистояти відволікаючим - але в кінцевому рахунку нерелевантним і оманливим - філософським питанням.)

• Клони схожі на неї в усіх відношеннях, включаючи пам’ять і думки.

• SB повністю усвідомлює, що це станеться.

Ми можемо клонувати, в принципі. ЕТ Джейнес замінює питання "як ми можемо побудувати математичну модель здорового глузду людини" - щось, що нам потрібно, щоб продумати проблему "Сплячої краси" - на "Як ми могли побудувати машину, яка б виконувала корисні правдоподібні міркування" слідуючи чітко визначеним принципам, що виражають ідеалізований здоровий глузд? " Таким чином, якщо вам подобається, замініть SB на мислячого робота Джейнеса і клоніруйте це.

(Були, і досі існують суперечки щодо "мислячих" машин.

"Вони ніколи не зроблять машину для заміни людського розуму - це багато речей, які жодна машина ніколи не могла зробити".

Ви наполягаєте на тому, що щось не може зробити машина. Якщо ви точно скажете мені, що таке машина не може робити, я завжди можу зробити машину, яка буде робити саме це! "

--J. фон Нойман, 1948. Цитований Е. Т. Джейнсом в теорії ймовірностей: Логіка науки , с. 4.)

--Рубе Голдберг

Експеримент Сплячої красуні відновився

У неділю ввечері підготуйте однакових копії SB (включаючи саму SB). Всі вони лягають спати в один і той же час, потенційно протягом 100 років. Щоразу, коли вам потрібно буде пробуджувати SB під час експерименту, випадковим чином вибирайте клона, який ще не прокинувся. Будь-які пробудження відбудуться в понеділок і, якщо потрібно, у вівторок.$n \ge 2$

Я стверджую, що ця версія експерименту створює абсолютно такий самий набір можливих результатів, аж до психічних станів і усвідомлення СБ, з абсолютно однаковими ймовірностями. Це потенційно є одним із ключових моментів, коли філософи можуть вирішити атакувати моє рішення. Я стверджую, що це останній момент, коли вони можуть напасти на нього, оскільки аналіз, що залишився, є рутинним і суворим.

Тепер ми застосовуємо звичайну статистичну техніку. Почнемо з простору вибірки (можливих експериментальних результатів). Нехай означає "пробуджує понеділок", а означає "пробуджує вівторок". Аналогічно, нехай означає "голови" і "t" означають хвости. Підпишіть клони цілими числами . Тоді можливі результати експериментів можуть бути записані (як я сподіваюся, це прозора, само собою зрозуміла нотація) як безлічT h 1 , 2 , … , $M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

Ймовірність понеділка

Як один із клонів СБ, ви вважаєте, що ваш шанс бути пробудженим у понеділок під час проведення експерименту по голові - це ( шанси на голову) разів ( шанс, що мене обрали як клона, який прокинувся). Більш технічно:1 /$1/2$$1/n$

• Набір результатів головок . Їх є .$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• Подія, коли вас прокидають голови, є .$h(i) = \{hM_i\}$

• Імовірність якого - або конкретного клону SB пробуджуються з монетою , показуючи голови дорівнює$i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

Ймовірність у вівторок

• Набір результатів хвостів - . Їх є . Усі однаково ймовірні, за задумом.n ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• Ви, клон , пробуджуєтесь у цих випадків; а саме, способів, яких можна розбудити в понеділок (є залишилися клони, які слід розбудити у вівторок) плюс способів, яких можна розбудити у вівторок (є можливих понеділок-клонів). Назвіть цю подію .( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t ( i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• Ваші шанси прокинутися під час експерименту з хвостиком дорівнюють

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

Теорема Байєса

Тепер, коли ми зайшли так далеко, теорема Байєса - математична тавтологія поза суперечками - закінчує роботу. Тому будь-який клон шансів на голову є

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

Оскільки СБ не відрізняється від своїх клонів - навіть для себе! - це відповідь, яку вона повинна дати, коли її запитають про ступінь віри в голови.

Тлумачення

Питання "яка ймовірність голів" має два розумні інтерпретації для цього експерименту: він може попросити шансу, щоб справедлива монета приземлила голови, що є (відповідь Халфера), або він може попросіть шансу монета приземлиться головами, що обумовлюється тим, що ви були клоном пробудженим. Це (відповідь Третього).Pr [ ч | т ( я ) ∪ ч ( я ) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

У ситуації, в якій С.Б. (а точніше будь-який із набору ідентично підготовлених машин мислення Джейнеса) виявляє себе, цей аналіз - який було здійснено багатьма іншими (але я вважаю менш переконливим, оскільки вони не так чітко усунули філософські відволікання в описах експериментів) - підтримує відповідь Третього.

Відповідь Халфера є правильною, але нецікавою, оскільки вона не має відношення до ситуації, в якій опинився SB. Це вирішує парадокс.

Це рішення розробляється в контексті єдиної чітко визначеної експериментальної установки. Уточнення експерименту уточнює питання. Чітке запитання призводить до чіткої відповіді.

Коментарі

Я здогадуюсь, що, слідуючи за Ельгою (2000), ви могли б правомірно охарактеризувати нашу умовну відповідь як "підрахунок [власного] тимчасового розташування як відповідного істині h", але ця характеристика не додає розуміння проблеми: це лише шкодить математичні факти в докази. Мені здається, це просто незрозумілий спосіб стверджувати, що інтерпретація питання про ймовірність "клонів" є правильною.

Цей аналіз свідчить про те, що в основі філософського питання лежить ідентичність : що відбувається з клонами, які не пробуджуються? Які когнітивні та ноетичні зв’язки існують серед клонів? - але це обговорення не є питанням статистичного аналізу; він належить на іншому форумі .

Дякуємо за цей блискучий пост (+1) та рішення (+1). Цей парадокс вже болить у мене.

Я просто подумав про таку ситуацію, яка не потребує ні феї, ні чудес, ні магічних зілля. Перенесіть справедливу монету в понеділок полудня. Після "Хвостів" надішліть повідомлення Елісі та Бобу (таким чином, щоб вони не знали, що інший отримав повідомлення від вас, і що вони не можуть спілкуватися). Після 'Heads', надішліть повідомлення одному з них навмання (з вірогідністю ).$1/2$

Коли Аліса отримує пошту, яка ймовірність того, що монета приземлилася на "Головах"? Ймовірність того, що вона отримає лист, становить , а ймовірність того, що монета приземлилася на "Heads" - .1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

Тут немає парадоксу, оскільки Аліса не отримує лист з вірогідністю , і в такому випадку вона знає, що монета висадилася на "Головах". Той факт, що ми не запитуємо її думки в цьому випадку, робить цю ймовірність рівною 0 .$1/4$

Отже, у чому різниця? Чому Аліса отримуватиме інформацію, отримуючи пошту, а SB не дізнається, що прокидається?

Переходячи до більш дивовижної ситуації, ми поміщаємо 2 різних SB на сон. Якщо монета приземляється на «Хвостах», ми прокидаємось обох, якщо вона приземляється на «Головах», ми прокидаємо одну з них навмання. Знову ж таки, кожен із СБ повинен сказати, що ймовірність посадки монети на "Heads" становить і знову немає парадоксу, оскільки є шансу, що цей SB не буде пробуджений.1 /$1/3$$1/4$

Але ця ситуація дуже близька до початкового парадоксу, оскільки стирання пам'яті (або клонування) еквівалентно наявності двох різних SB. Отже, я з @Douglas Zare тут (+1). СБ чомусь навчився, прокинувшись. Той факт, що вона не може висловити свою думку у вівторок, коли монета "Головами", оскільки вона спить, не стирає інформації, яку вона отримала, прокинувшись.

На мій погляд, парадокс полягає в тому, що " вона абсолютно нічого не навчилася, що не знала в неділю вночі ", що заявляється без обґрунтування. У нас таке враження, тому що ситуації, коли вона прокидається, однакові, але це так, як Аліса отримує пошту: саме її запитують її думку, яка дає їй інформацію.

ОСНОВНА РЕДАКЦІЯ : Після глибокої думки я змінюю свою думку: Спляча красуня нічого не навчилася, і приклад, який я наводжу вище, не є хорошим аналогом її ситуації.

Але ось рівнозначна проблема, яка не є парадоксальною. Я міг би пограти в наступну гру з Алісою та Боб: я таємно кидаю монету і незалежно ставлю їх на 1 $, що вони не можуть її здогадатися. Але якщо монета приземлилася на «Хвости», ставка будь-якої Аліси з Боба скасовується (гроші не змінюються вручну). З огляду на те, що вони знають правила, на що їм робити ставку?

"Голова" очевидно. Якщо монета приземляється на "Heads", вони отримують 1 $ , інакше вони втрачають в середньому 0,5 $ . Чи означає це, що вони вважають, що монета має 2/3 шансу висадитися на "Головах"? Звичайно, ні. Просто протокол такий, що вони не отримують однакової суми грошей за кожну відповідь.

Я вважаю, що Спляча красуня знаходиться в тій самій ситуації, що і Аліса чи Боб. Події не дають їй інформації про жеребкування , але якщо її попросять зробити ставку, шанси її не 1: 1 через асиметрію в виграші. Я вважаю, що саме це означає @whuber

Відповідь Халфера є правильною, але нецікавою, оскільки вона не має відношення до ситуації, в якій опинився SB. Це вирішує парадокс.

"Всякий раз, коли пробуджується SB, вона не дізнається абсолютно нічого, чого не знала в неділю вночі". Це неправильно, як неправильно сказати: "Я виграю в лотереї, чи ні, тому ймовірність становить ". Вона дізналася, що прокинулася. Це інформація. Тепер вона повинна вірити, що кожне можливе пробудження є однаково вірогідним, а не кожен монет перевертається.$50\%$

Якщо ви лікар, і пацієнт заходить у ваш кабінет, ви дізналися, що пацієнт зайшов до кабінету лікаря, що має змінити вашу оцінку від попередньої. Якщо кожен звертається до лікаря, але хвора половина населення йде в разів частіше, ніж здорова половина, тоді, коли пацієнт ходить у вас, ви знаєте, що пацієнт, ймовірно, хворий.$100$

Ось ще одна незначна зміна. Припустимо, яким би не був викид монети, Спляча красуня прокинеться двічі. Однак, якщо це хвости, вона буде прокидатися красиво вдвічі. Якщо це голови, вона одного разу буде прокинута, і колись на неї буде скинутий відро з льодом. Якщо вона прокидається в купі льоду, у неї з'являється інформація про те, що монета підійшла головами. Якщо вона добре прокидається, у неї з’являється інформація про те, що монета, мабуть, не придумала голови. Вона не може провести невідроджене випробування, чий позитивний результат (лід) говорить, що її голова швидше без негативного результату (приємного), що вказує на те, що голови є менш ймовірними.

Парадокс полягає в зміні точки зору між одним експериментом та його граничною точкою. Якщо враховано # експериментів, ви можете зрозуміти це навіть точніше, ніж "або /" половинки та треті:

Одномісний експеримент: Халверс має рацію

Якщо є один експеримент, є три результати, і вам потрібно просто визначити ймовірності з точки зору пробуджених:

1. Закинули голови: 50%
2. Хвостики підкидали, і це моє перше пробудження: 25%
3. Хвостики підкидали, і це моє друге пробудження: 25%

Отже, в одному експерименті при будь-якому заході з пробудження ви повинні припустити, що в 50/50 ви знаходитесь в стані, коли кидали голови

Два експерименти: 42% випадків мають рацію

Тепер спробуйте два експерименти:

1. Двічі кидали двічі: 25% (для обох пробуджень разом)
2. Хвости кидали двічі: 25% (за всі чотири пробудження разом)
3. Головки потім Хвости, і це моє перше пробудження: 25% / 3
4. Головки потім Хвости, і це моє 2-е чи 3-е пробудження: 25% * 2/3
5. Хвости, тоді Головні, і це моє 1-е або 2-е пробудження: 25% * 2/3
6. Хвости, то голова, і це моє третє пробудження: 25% / 3.

Отже, {1, 3, 6} - це ваші глави, з сукупною ймовірністю (25 + 25/3 + 25/3)%, 41,66%, що менше 50%. Якщо буде проведено два експерименти, у будь-який захід пробудження ви повинні припустити 41,66% шансу на те, що ви перебуваєте в стані, коли голову кинули

Нескінченні експерименти: Треті права праві

Я не збираюся займатися математикою тут, але якщо ви подивитеся на варіанти двох експериментів, ви можете бачити, що №1 і №2 спрямовують її до половинок, а решта ведуть її до третини. Зі збільшенням кількості експериментів варіанти, що рухаються до половинок (всі голови / всі хвости), зменшують вірогідність до нуля, залишаючи "треті" варіанти, щоб перейняти. Якщо виконуються нескінченні експерименти, на будь-якому заході пробудження, ви повинні припустити 1/3 шансу, що ви перебуваєте в стані, коли кинули голови

Попередня заявка на повернення:

Але, азартні ігри?

Так, в одному екземплярі експерименту ви все одно повинні "грати" на третини. Це не непослідовність; це лише тому, що ви можете робити одну і ту ж ставку кілька разів, отримуючи певний результат, і знаєте це заздалегідь. (Або якщо ви цього не зробите, мафія робить).

Гаразд, як щодо двох окремих експериментів? Розбіжність багато?

Ні, адже знання про те, чи є ви на першому чи другому експерименті, додає вашим, ерм, знанням. Давайте розглянемо варіанти "двох експериментів" і відфільтруємо їх, дізнавшись, що ви на першому експерименті.

1. Застосовується для першого пробудження (1/2)
2. Застосовується для перших двох пробуджень (2/4)
3. Застосовується
4. Ніколи не застосовується
5. Застосовується для першого пробудження (1/2)
6. Не застосовується

Гаразд, візьміть голову (1,3,6), помножте їх, шанси на застосовність: 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6.

Тепер візьміть хвости (2,4,5) і зробіть те саме: 25 * 4/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6.

Віола, вони ж. Додана інформація про те, для якого експерименту ви насправді коригуєте шанси того, що знаєте.

Але, клони !!

Простіше кажучи, всупереч постулату відповісти в оре, в тому , що клонування створює еквівалентний експеримент: клонування плюса випадкового вибір робить зміна знання experimentee, таким же чином «кілька експериментів» змінює експеримент. Якщо є два клони, ви можете бачити, що ймовірності кожного клону відповідають імовірностям двох експериментів . Нескінченні клони сходяться до третіх. Але це не той самий експеримент, і це не те саме знання, як одиночний експеримент з одним не випадковим предметом.

Ви кажете "випадковий нескінченний", а я кажу залежність "Аксіома вибору"

Я не знаю, моя теорія множин не така велика. Але з огляду на N менше, ніж нескінченність, ви можете встановити деяку послідовність, яка сходиться від половини до третини, нескінченний випадок, що дорівнює третині, буде або правдивим, або не визначним, в гіршому випадку, незалежно від того, які аксіоми ви викликаєте.

Давайте варіюємо проблему.

Якщо монету піднімають голови, то SB ніколи не прокидається.

Якщо Хвости, то SB прокидається один раз.

Зараз у таборах - півзахисники та нулери. І явно Нульори вірні.

Або: Голови -> прокинулися один раз; Хвости -> прокидалися мільйон разів. Ясна річ, якщо вона не спіла, це, швидше за все, хвости.

(PS Щодо теми "нової інформації" - інформація, можливо, була ВРЕМЕНА. Отже, інше питання: чи втратила вона колись інформацію?)

"Всякий раз, коли пробуджується SB, вона не дізнається абсолютно нічого, чого не знала в неділю вночі".

Це невірно, що є помилкою в аргументі Халєра. Одна з рішень, з якою важко сперечатися, тхо, полягає в тому, що аргумент "Половина", заснований на цьому твердженні, рідко висловлюється з більшою суворістю, ніж те, що я цитував.

Є три проблеми. По-перше, аргумент не визначає, що означає "нова інформація". Це, мабуть, означає «Подія, яка спочатку мала ненульову ймовірність, не могла статися на основі доказів». По-друге, він ніколи не перераховує те, що відомо в неділю, щоб побачити, чи відповідає це визначення; і це може, якщо ви дивитесь на це належним чином. Нарешті, немає жодної теореми, яка б сказала, "якщо у вас немає нової такої інформації, ви не можете оновити". Якщо у вас це є, теорема Bayes створить оновлення. Але можна зробити висновок, що якщо у вас немає цієї нової інформації, ви не можете її оновити. Бути помилкою не означає, що це неправда, це означає, що ви не можете зробити такий висновок на основі лише цих доказів.

У ніч на неділю, скажімо, СБ котить уявну шестигранну матір сама. Оскільки це уявно, вона не може дивитися на результат. Але мета - побачити, чи відповідає він дню, коли вона прокидається: парне число означає, що воно відповідає понеділку, а непарне число означає вівторок. Але він не може відповідати обом, що фактично відрізняє два дні.

SB тепер може (тобто у неділю) обчислити ймовірність восьми можливих комбінацій {Heads / Tails, понеділок / вівторок, Match / No Match}. Кожен буде 1/8. Але коли вона прокидається, вона знає, що {Heads, Tuesday, Match} і {Heads, Tuesday, No Match} цього не сталося. Це являє собою "нову інформацію" форми, яку аргумент халтерів говорить, що не існує, і це дозволяє SB оновлювати ймовірність того, що монета дослідника висадилася на головах. Це 1/3, чи відповідає її уявна монета дійсному дню. Оскільки це так само інакше, це 1/3, чи вона знає, чи є відповідність; і насправді, чи вона котиться, чи уявляє, як котиться, плашка.

Цей додатковий штамб здається чималим для проходження результату. Насправді це не потрібно, але вам потрібно інше визначення "нової інформації", щоб зрозуміти, чому. Оновлення може відбуватися в будь-який час, коли значущі (тобто незалежні та не нульові ймовірності) події в попередньому просторі вибірки відрізняються від значущих подій у задньому просторі вибірки. Таким чином, знаменник співвідношення в теоремі Байєса не дорівнює 1. Хоча це зазвичай відбувається, коли докази призводять до того, що деякі події мають нульову ймовірність, це може статися і тоді, коли докази змінюються, незалежно від подій. Це дуже неортодоксальне тлумачення, але воно працює, тому що Красі надається більше, ніж одна можливість спостерігати за результатами. І суть моєї уявної смерті, яка відрізняла дні, полягала в тому, щоб перетворити систему в єдину, де загальна ймовірність становила 1.

У неділю SB знає P (Awake, Monday, Heads) = P (Прокинься, понеділок, хвости) = P (прокинься, вівторок, хвости) = 1/2. Вони складають більше ніж 1/2, оскільки події не є незалежними на основі інформації, яку SB має у неділю. Але вони незалежні, коли вона прокидається. Відповідь, згідно теореми Байєса, є (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1/3. Немає нічого поганого в знаменнику, більшому за 1; але уявний аргумент монети був розроблений для досягнення одних і тих же речей без такого знаменника.

Я просто повторився через це. Я вдосконалював деякі свої думки з цього останнього допису, і думав, що можу знайти тут сприйнятливу аудиторію для них.

По-перше, про філософію, як вирішити таку суперечку: скажіть, аргументи А та В існують. Кожен має передумови, послідовність відрахувань та результат; і результати відрізняються.

Найкращий спосіб довести один аргумент невірно - це визнати недійсним один із його відрахувань. Якби це було можливо, тут не було б суперечки. Інша полягає в спростуванні передумови, але ви не можете це зробити безпосередньо. Ви можете заперечити, чому ви не вірите одному, але це нічого не вирішить, якщо ви не зможете переконати інших перестати вірити.

Щоб довести помилку неправильно, потрібно сформувати альтернативну послідовність відрахувань з неї, що призводить до абсурду або до суперечності передумови. Помилковий спосіб - стверджувати, що протилежний результат порушує вашу передумову. Це означає, що хтось помиляється, але він не вказує, який.

+++++

Положення половинки - це "відсутність нової інформації". Послідовність їх відрахувань порожня - жодна не потрібна. Pr (Heads | Awake) = Pr (Heads) = 1/2.

Треті (зокрема, Ельга) мають два приміщення - Pr (H1 | Пробудження та понеділок) = Pr (T1 | Пробудження та понеділок) та Pr (T1 | Пробудження та хвости) = Pr (T2 | Пробудження та хвости). Тоді суперечлива послідовність відрахувань призводить до Pr (Heads | Awake) = 1/3.

Зауважте, що треті ніколи не припускають, що є нова інформація - їхні приміщення базуються на будь-якій інформації - "новій" чи ні - коли СБ прокидається. І я ніколи не бачив, щоб хтось сперечався, чому третя помилка помиляється, за винятком того, що це порушує результат половинки. Тож півзахисники не надали жодного з дійсних аргументів, які я перерахував. Просто помилковий.

Але можливі й інші відрахування з "відсутня нова інформація", з послідовністю відрахувань, що починаються з Pr (Heads | Awake) = 1/2. Одне полягає в тому, що Пр (Голови | Пробудись і понеділок) = 2/3 і Пр (хвости | Пробудись і понеділок) = 1/3. Це суперечить припущенню третьої частини, але, як я вже сказав, це не допомагає причині половинки, оскільки це все ще може бути їх помилкою. За іронією долі, цей результат щось доводить - що передумова половини суперечить собі. У неділю SB каже Pr (Heads | понеділок) = Pr (хвости | понеділок), тому додавання інформації "Прокинься" дозволило їй оновити ці ймовірності. Це нова інформація.

Тож я довів, що половина припущення не може бути правильною. Це не означає, що треті права мають рацію, але це означає, що півзахисники не надали протилежних доказів.

+++++

Є ще один аргумент, який я вважаю більш переконливим. Це не зовсім оригінально, але я не впевнений, чи достатньо підкреслено правильну точку зору. Розглянемо варіацію експерименту: SB завжди прокидається в обидва дні; зазвичай це в кімнаті, пофарбованої в синій колір, але у вівторок після Голови він знаходиться в кімнаті, пофарбованій в червоний колір. Що вона повинна сказати, що це ймовірність Heads, якщо вона опиниться неспаною в синій кімнаті?

Я не думаю, що хтось серйозно стверджуватиме, що це що-небудь, крім 1/3. Є три ситуації, які можуть відповідати її нинішній, всі однаково вірогідні, і лише одна включає в себе Голів.

Важливим моментом є те, що між цією версією та оригіналом немає різниці. Що вона "знає" - її "нову інформацію" - це те, що це не H2. Не має значення, як, чи ЯКЩО вона знає, що це може бути H2, якщо це можливо. Її здатність спостерігати за ситуаціями, які вона знає, що не застосовуються, не має значення, якщо вона знає, що вони не застосовуються.

Я не можу повірити в половину припущення. Він заснований на тому, що вона не може спостерігати H2 - це не може мати значення, оскільки вона може, і так, помічає, що це не H2.

Тож я сподіваюся, що я висловив переконливий аргумент, чому передумова половинки є недійсною. Попутно я знаю, що я продемонстрував, що результат третього повинен бути правильним.

Третина можливих пробуджень - це пробудження глав, а дві третини можливих пробуджень - це пробудження хвостів. Однак одна половина принцес (або будь-яка інша) - принцеси Глави, а половина - принцеси Хвоста. Принцеси Хвостів, окремо і в сукупності, переживають вдвічі більше пробуджень, ніж принцеси Глави.

З точки зору принцеси, прокинувшись, є три можливості. Вона - або принцеса, що прокидається вперше (і єдиний) раз ( ), принцеса з хвостами, що прокидається вперше ( ), або хвоста принцеса, яка прокидається вдруге ( ). Здається, немає підстав вважати, що ці три результати однаково вірогідні. Швидше , , а .$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

Я не читав міркування Винеберга, але думаю, що бачу, як вона доходить до справедливої ​​пари в розмірі . Припустимо, щоразу, коли принцеса пробуджується, вона робить ставку те, що вона принцеса Heads, отримуючи $ 1, якщо вона справді принцеса Heads, і $ 0 в іншому випадку. Тоді принцеса Heads отримає , а принцеса Tails отримає щоразу, коли вона грає. Оскільки принцеси Хвостів повинні грати двічі, а оскільки половина принцес - це принцеси Глави, очікувана віддача - , а справедлива ціна - .$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

Зазвичай це може бути переконливим доказом того, що ймовірність становить , але звичайне міркування в цьому випадку не дотримується: принцеси, яким судилося програти ставку, зобов'язані двічі грати в гру, тоді як ті, кому судилося виграти, будуть грати лише один раз! Цей дисбаланс роз’єднує звичайну залежність між ймовірностями та справедливими ставками.$1/3$

(З іншого боку, технік, який був призначений для допомоги у процесі неспання, справді мав би лише третину шансів бути призначеним принцесі Глави.)

Коли ви прокидаєтесь, до якої міри ви повинні вірити, що результатом відкидання монети був Глава?

Що ви маєте на увазі під « слід »? Які наслідки моїх переконань? У такий експеримент я ні в що не повірив. Це питання позначене як decision-theory, але, як задуманий цей експеримент, я не маю стимулу приймати рішення.

Ми можемо модифікувати експеримент різними способами, щоб я відчував схильність дати відповідь. Наприклад, у мене може бути здогадка про те, чи я прокинувся через "Головки" чи "Хвости", і я заробляв би цукеркою за кожну правильну відповідь, яку я даю. У такому випадку, очевидно, я зважився б на "Хвісти", тому що в повторних експериментах я в середньому заробляв би одну цукерку за експеримент: У 50% випадків жеребкування було б "Хвостами", пробуджусь вдвічі, і я заробив би цукерку обидва рази. В інших 50% ("Глави") я нічого не заробляв. Якщо я відповім "Головам", я заробляв би лише половину цукерки за експеримент, тому що отримав би лише один шанс відповісти, і я маю право 50% часу. Якби я сам кинув за відповідь справедливу монету, я$3/4$

Ще одна можливість - заробити цукерку за кожен експеримент, в якому всі мої відповіді були правильними. У цьому випадку не має значення, яку систематичну відповідь я даю, оскільки, в середньому, я заробляю половину цукерки за експеримент: Якщо я вирішу весь час відповідати на "Голову", я би був правильним 50% випадків, і те саме стосується "Хвостів". Тільки якщо я сам кидаю монету, я б заробляв цукерки: У 50% випадків дослідники кидають "Голову", а в 50% від них я б також підкидав "Голову". мені цукерки. В інших 50% випадків, коли дослідження кидали "Хвісти", мені доведеться кинути "Хвісти" двічі,$3/8$$1/4$$1/4$випадків, так що це заробило б мені лише цукерки.$1/8$

як можна вирішити цей парадокс статистично суворо? Це навіть можливо?

Визначте " статистично суворий шлях ". Питання про переконання не має практичної актуальності. Мають значення лише дії .

Питання неоднозначне і тому, здається, лише парадокс. Питання ставиться так:

Коли ви прокидаєтесь, до якої міри ви повинні вірити, що результатом відкидання монети був Глава?

Що плутати з цим питанням:

Коли ви пробуджуєтесь, до якої міри ви повинні повірити, що голова була причиною вас пробудження ?

У першому питанні ймовірність становить 1/2. У другому питанні 1/3.

Проблема полягає в тому, що перше питання викладено, а друге питання мається на увазі в контексті експерименту. Ті, хто підсвідомо приймає підказки, кажуть, що це 1/3. Ті, хто читає питання, буквально кажуть, що це 1/2.

Ті, хто розгублений, не впевнені, яке питання вони задають!

Мені дуже подобається цей приклад, але я б стверджував, що є один момент, щоб збитися з пантелику кількома неприємностями.

Щоб уникнути неприємностей відволікання, хтось із суперечок повинен намагатися розгледіти абстрактне схематичне зображення проблеми, яке явно поза розумним сумнівом (як адекватне уявлення) і може бути перевірено маніпулювати (повторно маніпулювати кваліфікованими іншими) для демонстрації претензій. Як простий приклад, розгляньте (абстрактний математичний) прямокутник і стверджуйте, що його можна скласти у два трикутники.

Намалюйте вільний прямокутник як зображення математичного прямокутника (на вашому малюнку чотири кути не додадуть рівно до 180 градусів, а сусідні лінії не будуть абсолютно рівними чи прямими, але не буде сумнівів у тому, що він являє собою справжній прямокутник ). Тепер маніпулюйте нею, намалювавши лінію від одного протилежного кута до іншого, що міг би зробити хто-небудь інший, і ви отримаєте подання двох трикутників, у яких ніхто не може сумніватися. Будь-яке питання про те, чи може це бути так, здається нісенітницею, це просто так.

Я намагаюся тут зазначити, що якщо ви отримуєте поза розумним сумнівом уявлення про проблему SB як спільного розподілу ймовірностей і можете обумовити подію, що трапиться в експерименті в цьому поданні, - тоді заявляєте, чи дізнаєтесь щось ця подія може бути продемонстрована перевіреною маніпуляцією та не потребує (філософської) дискусії чи анкетування.

Тепер я краще презентую свою спробу і читачам потрібно буде розпізнати, чи вдалося мені. Я буду використовувати імовірнісне дерево, щоб представити спільні ймовірності для денного сну в експериментах (DSIE), результат перекидання монети в понеділок (CFOM) і пробуджений, коли один спав в експерименті (WGSIE). Я витягну його (насправді просто напишіть його тут) з точки зору p (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM).

Я б хотів назвати DSIE та CFOM можливими невідомими, а WGSIE можливими відомими, тоді p (DSIE, CFOM) є пріоритетним, а p (WGSIE | DSIE, CFOM) є моделлю даних або ймовірністю, і теорема Байєса застосовується, без цього маркування це просто умовна ймовірність, що логічно те саме.

Тепер ми знаємо, p (DSIE = Пн) + p (DSIE = Вт) = 1 і p (DSIE = Вт) = ½ p (DSIE = Пн)

тому p (DSIE = пн) = 2/3 і p (DSIE = вт) = 1/3.

Тепер P (CFOM = H | DSIE = пн) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = пн) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = вт) = 1.

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.) Завжди дорівнює одиниці.

Попередні рівні

P (DSIE = пн, CFOM = H) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = пн, CFOM = T) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = Вт, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

Таким чином, граничне значення для CFOM = 1/3 H та 2/3 T, а заднє, яке ви прокинули під час сну в експерименті, - буде таким же (як не відбувається навчання) - значить, ви попередній - 2/3 T.

Гаразд - де я пішов не так? Чи потрібно переглянути свою теорію ймовірностей?

Простим поясненням цього було б те, що є три способи, за допомогою яких спляча красуня може прокинутися, два з яких - з підкидання хвостів. Тому ймовірність повинна бути 1/3 для голови кожного разу, коли вона прокидається. Я виклав його в блозі пост

Основний аргумент проти точки "половинки" полягає в наступному: В байєсівському сенсі СБ завжди шукає, щоб дізнатися, яку нову інформацію вона має. Насправді, в момент, коли вона вирішила взяти участь в експерименті, у неї є додаткова інформація про те, що коли вона прокинеться, це може бути за кілька днів. Або, інакше кажучи, відсутність інформації (витирання пам’яті) - це те, що надає тут докази, хоча і тонко.

Як багато питань, це залежить від точного значення питання:

Коли ви прокидаєтесь, до якої міри ви повинні вірити, що результатом відкидання монети був Глава?

Якщо ви інтерпретуєте це як "які шанси на те, що підкинута монета є головами", очевидно, що відповідь - "половина шансів".

Але те, що ви запитуєте, - це не в моїй інтерпретації це, а "який шанс, що нинішнє пробудження було спричинене керівниками?". У цьому випадку очевидно лише третина пробуджень спричинена Головими, тому найбільш вірогідною відповіддю є "Хвости".

Це дуже цікаве питання. Я дам свою відповідь так, ніби я сплю красунею. Я вважаю, що ключовим моментом є розуміння того, що ми на 100% довіряємо експериментатору.

1) У ніч на неділю, якщо ви запитаєте мене, яка ймовірність монети в головах, я скажу вам .$\frac{1}{2}$

2) Щоразу, коли ти мене прокидаєш і запитаєш, я скажу тобі .$\frac{1}{3}$

3) Коли ти скажеш мені, що це ти востаннє пробуджуєш мене, я негайно перейду до того, щоб сказати тобі ймовірність .$\frac{1}{2}$

Зрозуміло, що (1) випливає з того, що монета справедлива. (2) випливає з того, що коли ти прокинувся, ти опинився в одній з 3 однаково вірогідних ситуацій з твоєї точки зору. Кожен з них може виникнути з ймовірністю .$\frac{1}{2}$

Потім (3) слідує тим самим способом, за винятком того, що як тільки вам кажуть, що це останній раз, коли вас пробуджують, кількість ситуацій, в яких ви можете опинитися, обвалюється до 2 (як зараз хвости, і це вперше ви були прокинутися неможливо).

$m$$n$$m≤n$

Зокрема, якщо монета "Головки", вона буде пробуджена на ...

$\cdots$
$\cdots$
$m$

... і якщо монета "Хвости", вона буде пробуджена на ...

$\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$Д $\ldots$$D_m$

$D_1$ : Це пробудження відбувається в 'день 1' : це пробудження відбувається в 'день 2' : це пробудження відбувається в 'день 3' : Це пробудження відбувається в 'день '
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

Для можливого результату "Хвостики" можливі результати " ", включаючи можливі результати, вказані вище " ".$n$$m$

$D_1$ : Це пробудження відбувається в 'день 1' : Це пробудження відбувається в 'день 2' : це пробудження відбувається в 'день 3' : це пробудження відбувається в 'день '
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

Отже, можливі результати . Тепер, з огляду на те, що монета висадила "Heads", події , , , однаково вірогідні. Тому ... Також, враховуючи, що монета висадила "Хвости", події , , , однаково вірогідні. Тому ... Тепер для будь-якої можливої ​​події де ціле число і$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ для , очевидно ... $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

Тепер давайте обчислимо ймовірності можливих подій , , ,$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

для для$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

Тепер ми можемо обчислити ймовірність того, що "Heads" дано SB, прокидається. Як було сказано вище, можливими подіями при пробудженні є , , , . Тому ймовірність така ...$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

Відповідь у нас вже є, але давайте також порахуємо ймовірність "головки" або "хвостів", враховуючи, що пробудження відбувається в певний день

для$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

для$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

Я знаю, що це не відповідь для тих, хто вірить у відповідь "1/3". Це просто просте використання умовних ймовірностей. Таким чином, я не вважаю, що ця проблема є неоднозначною і тому є парадоксальною. Хоча читача це заплутало, якщо не зрозуміло, які є випадкові експерименти та які можливі події цих експериментів.

Оскільки спляча красуня не може пригадати, скільки разів вона прокинулася раніше, ми не дивимося на ймовірність Голів, враховуючи, що вона прокинулася лише один раз, але ймовірність Голодів, враховуючи, що вона прокинулася хоча б раз:

Отже, маємо: а не$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

Таким чином, відповідь - 50% (половинки праві), і парадоксальності немає.

Люди, здається, роблять це далеко, набагато складніше, ніж є насправді!

Нестатистично

При всій своїй природній геніальності Спляча красуня може здійснити гіпотетичний експеримент уві сні, який буде формувати її переконання:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

Вихід:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

Тож наша Спляча красуня вважатиме, що краще вгадує хвости.

А статистично?

Наведений вище алгоритм не a statistically rigorous wayдля визначення того, що вгадати. Однак це дає зрозуміло зрозуміти, що у випадку хвостів вона здогадується вдвічі , таким чином здогадуючись, що хвости вдвічі більше, ніж це буде правильним. Це випливає з оперативної процедури експерименту.

Імовірність частого лікування

Імовірність частості - це поняття статистики, засноване на теоріях Фішера, Неймана та (Егона) Пірсона.

Основне поняття "Частота Імовірності" полягає в тому, що операції в експериментах можна повторювати, принаймні гіпотетично, нескінченну кількість разів. Кожна така операція призводить до результату .$n$$E_{n}$

Імовірність результату визначається як:$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

Це саме те, що зробила Спляча красуня в своїй голові вище: якщо - це подія правильного під час відгадування ГОЛОВИ, то переходить до .$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

А вона вірить?

Отже, коли вона нарешті приїжджає сюди в своїх міркуваннях, у неї є статистично суворі підстави, на яких можна грунтуватися. Але як вона в кінцевому підсумку їх сформує, насправді залежить від її психіки.

Я просто придумав новий спосіб пояснити свою думку, а що не так у відповіді 1/2. Запустіть дві версії експерименту одночасно, використовуючи той самий монетний фліп. Одна версія так само, як оригінал. В іншому потрібні три (або чотири - це не має значення) волонтерів; кожному присвоєно різну комбінацію "Хедс-або-Хвіст" та "Понеділок-Вівторок" (комбінація "Голови + вівторок" пропущена, якщо ви використовуєте лише трьох добровольців). Позначте їх HM, HT, TM і TT відповідно (можливо, опускаючи HT).

Якщо волонтер у другій версії прокинувся таким чином, вона знає, що вона однаковою мірою мала позначення HM, TM або TT. Іншими словами, ймовірність того, що її позначили HM, враховуючи, що вона неспана, становить 1/3. Оскільки гортання монети та день відповідають цьому завданню, вона може тривіально вивести, що P (Heads | Awake) = 1/3.

Добровольця в першій версії можна було розбудити не раз. Але оскільки "сьогодні" - це лише один із цих двох можливих днів, коли вона не спить, вона має точно таку ж інформацію, як і волонтер, що спіла у другій версії. Вона знає, що її нинішні обставини можуть відповідати етикетці, застосованій до одного, А ТОЛЬКО ОДНОГО , інших волонтерів. Тобто, вона може сказати собі "або волонтер з маркуванням HM, або HT, або TT також прокинувся. Оскільки однакова ймовірність, є 1/3 шансу, що це HM, і так 1/3 шансу монета приземлилася. хвости ».

Причина, через яку люди помиляються, полягає в тому, що вони плутають "прокинувся колись під час експерименту" з "зараз прокинувся". Відповідь 1/2 приходить від оригінального СБ, який каже собі: "або НМ є єдиним іншим добровільним волонтером ЗАРАЗ , або ТМ і ТТ БУДУТЬ прокинувшимись НЕЧАСНО ВІД ВИКОРИСТАННЯ . Оскільки кожна ситуація однаково вірогідна, є 1/2 шанси це HM і так на 1/2 випадковості монети висадили хвости ". Це помилка, оскільки зараз прокидається лише один інший волонтер.

Замість того, щоб дати статистично жорстку відповідь, я хотів би трохи змінити питання таким чином, щоб переконати людей, чия інтуїція призводить їх до того, що вони напівзахисні.

Деякі дослідники хочуть укласти вас спати. Залежно від таємного кидання справедливої ​​монети, вони пробудять вас або один раз (Голова), або дев'ятсот дев'яносто дев'ять разів (Хвости). Після кожного пробудження вони повернуть вас спати з препаратом, який змушує забути це пробудження.

Коли ти прокинешся, який ступінь переконання маєш мати те, що підсумком жеребкування монети стали Глави?

Дотримуючись тієї ж логіки, що і раніше, могли бути два табори -

• Халферс - кидання монети було справедливим, і СБ це знає, тому вона повинна вірити, що шанс на голову є половиною.
• Тисячі - якби експеримент повторювали багато разів, кидання монети було б головою лише однієї тисячі разів, тож вона повинна вірити, що шанс головок - один на тисячу.

Я вважаю, що деяка плутанина в питанні, як це було сформульовано спочатку, виникає просто через те, що не існує великої різниці між половиною і третьою. Люди, природно, вважають ймовірності як дещо нечіткі поняття (особливо коли ймовірність - це ступінь віри, а не частота), і важко зрозуміти різницю між ступенями віри в півтора і третину.

Однак різниця між половиною і однією на тисячу набагато більш вісцеральна. Я стверджую, що більшості людей буде інтуїтивно очевидно, що відповідь на цю проблему - одна на тисячу, а не половина. Мені було б цікаво побачити "половинку", яка захищає свій аргумент, використовуючи замість цього версію проблеми.

Якщо сплячої красуні довелося сказати або голови, або хвости - вона мінімізувала б очікувану функцію втрат 0-1 (щодня оцінювали), підбираючи хвости. Якщо, однак, функцію втрат 0-1 оцінювали лише в кожному випробуванні, то або голови, або хвости були б однаково добре.

Треті перемагають

Замість монети, давайте припустимо справедливу кістку:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

Кожен раз, коли вони запитують її: "до якої міри ви повинні вірити, що результат кістки був 1?"

Півзахисники скажуть, що ймовірність кубиків = 1 дорівнює 1/6 Треті особи скажуть, що ймовірність кісток = 1 дорівнює 1/21

Але моделювання чітко вирішує проблему:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

Також ми можемо змоделювати проблему кидання

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

Очевидний парадокс випливає з хибної думки, що ймовірності абсолютні. Насправді ймовірності відносно визначення подій, що враховуються.

Це важливий момент, який слід зрозуміти для машинного навчання. Ми можемо побажати обчислити ймовірність того, що щось (наприклад, правильну транскрипцію дано фрагмент аудіо) шляхом її розкладання на фактори (ймовірність букв у різні періоди, ) за моделлю, яка дивиться не на весь звук, а на мить його (він обчислює ). може дорівнювати оскільки P's визначені по-різному . Різні P не можуть бути складені в одне рівняння, але ретельний аналіз може дозволити нам конвертувати між двома доменами.$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

І P (Heads) = 1/2 Wrt світи (або народження), і P (Heads) = 1/3 wrt моменти (або пробудження) є істинними, але після того, як уві сні спати красуні можуть тільки обчислити ймовірності відносно випадків бо вона знає, що її пам’ять стирається. (Перед сном вона обчислила б це стосовно світів.)

Я думаю, що помилка з боку "третіх", і моя причина цього полягає в тому, що "пробудження" не однаково вірогідні - якщо ти прокинувся, то швидше буде "перший раз", коли тебе розбудили - 75 % шансів насправді.

Це означає, що ви не можете рахувати "3 результати" (голови1, хвости1, хвости2) порівну.

Я думаю, що це також є випадком де - судження про те, що SB прокидається. Сказати щось справжнє двічі - це те саме, що сказати це один раз. Нові дані SB не були надані, тому що прогноз від попереднього був . Інші способи покласти його в і . Це означає, що$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

Математика чітко показана у відповіді, поданій від @ pit847, тому я не повторюю це в моєму.

але, з точки зору ставок на долар, можна вгадати результат при кожному пробудженні, і вам дадуть доларів, якщо ви правильні. У цьому випадку завжди слід вгадувати хвости, оскільки цей результат "зважений". Якщо на монеті були хвости, то ви зробите ставку двічі. тож ваш очікуваний прибуток (називайте це ), якщо ви здогадаєтесь, що голова - і аналогічно для відгадування хвостів $1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

тому ви отримуєте додатковий в середньому від здогадів. сума "справедливої ​​пари" -$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

Тепер, якщо ми повторимо вище, але використовуємо третину замість половини, отримаємо і . тому ми все ще маємо, що відгадування хвостів є кращою стратегією. Також сума "справедливої ​​пари" становить$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

Тепер ми можемо сказати, що "треті" повинні взяти ставку, де . Але "півзахисники" не брали б цю ставку. @ Ytsen de Boer має симуляцію, яку ми можемо перевірити. У нас голів і хвости, тож хвости на ставки дадуть вам у виграних ставок. Але ... вам довелося зіграти рази, щоб отримати це - а це чиста втрата - тому "треті" втрачають! також зауважте, що це насправді дещо сприятливий результат для хвостових ставок.$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

Коли прокидається Спляча красуня, вона знає:

Справедлива монета була кинута, щоб дати результат ; якщо то це єдине наступне пробудження; а якщо то це одне з двох наступних пробуджень.$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

Назвіть цю інформацію . Більше нічого не стосується її питання, а саме:$\mathcal{I}$

Що таке$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

Це питання призначення ймовірностей, на відміну від їх виведення. Якщо число пробудження, то еквівалентний $w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

що логічно еквівалентно

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

Спляча красуня не має додаткової інформації. За принципом недостатньої причини вона зобов'язана призначити ймовірність кожному диз'юнкту. Тому .$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PS

Щодо секундних думок, попередня відповідь застосовується, коли "справедлива монета" трактується як означає, що існує два можливості для результату перевертання монети або . Але, ймовірно, більш вірною інтерпретацією фрази "справедлива монета" є те, що вона прямо визначає, що , після чого відповідь наводиться в постановці проблеми.$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

На мою думку, однак, подібні твердження є технічно неприпустимими, оскільки ймовірність - це те, що необхідно розробити з попередніх та наступних пропозицій. Словосполучення «таємне кидання справедливої ​​монети» викликає питання: як Спляча красуня знає, що це справедливо? Яку інформацію вона має, яка це встановлює? Зазвичай справедливість ідеальної монети визначається з того, що є дві можливості, які є інформаційно рівнозначними. Коли монета перекидається з коефіцієнтом пробудження, ми отримуємо три можливості, які інформаційно еквівалентні. По суті це тристороння ідеальна монета, тому ми доходимо до рішення вище.

Пізно на вечірку, я знаю.

Це питання дуже схоже на проблему Monty Hall, де вас просять здогадатися, за яку з трьох дверей приз. Скажіть, ви обираєте Двері №1. Тоді ведучий (хто знає, де знаходиться приз) знімає з гри «Двері №3» і запитує, чи хочете ви переключити свою здогадку з «Дверей №1» на «Двері №2» чи дотримуватися початкової здогадки. Історія іде, що ви завжди повинні перемикатися, оскільки більша ймовірність того, що приз буде в Door No2. Люди зазвичай плутаються в цей момент і зазначають, що ймовірність того, що приз буде в будь-яких дверях, все ще 1/3. Але це не сенс. Питання не в тому, що вихідна ймовірність була, справжнє питання - які шанси, що ваша перша здогадка була правильною, проти яких шансів ви помилилися. У такому випадку вам слід переключитися, оскільки шанси ви помилилися, це 2/3.

Як і з проблемою Monty Hall, речі стають неймовірно зрозумілішими, якщо ми зробимо 3 двері на мільйон дверей. Якщо є мільйон дверей, і ви вибираєте Двері №1, а ведучий закриває двері від 3 до одного мільйона, залишаючи в грі лише Двері No1 та Двері No2, чи не переключитесь? Звичайно, ти б! Шанси, що ви правильно вибрали Двері №1, в першу чергу, були 1 на мільйон. Можливо, ти цього не зробив.

Іншими словами, помилка в міркуванні походить від думки, що ймовірність виконання дії дорівнює ймовірності виконаної дії, коли контекст між ними не робить їх рівнозначними твердженнями. Фразоване по-різному, залежно від контексту та обставин проблеми, ймовірність "правильно вибрати" може не збігатися з ймовірністю "правильно обраного".

Аналогічно з проблемою красуні сну. Якщо ви не пробуджувались 2 рази у випадку хвостів, але в 1 мільйон разів, для вас більше сенсу сказати "це поточне пробудження, яке я переживаю зараз, набагато більше шансів стати одним із тих, хто знаходиться в середині смуга мільйонних пробуджень від кидка Хвостів, ніж мені щойно трапилося наткнутися на це єдине пробудження, що виникла з Голів ". Аргумент, що це справедлива монета, тут ні до чого. Справедлива монета говорить вам лише про те, які шанси "кинути" Голову, тобто ймовірність того, що вам доведеться прокинутися один раз проти мільйона разів, коли ви вперше кинете цю монету. Тож якщо ви попросите СБ перед експериментом вибрати, чи спить вона один раз чи мільйон разів перед кожним кидком, її ймовірність «правильно вибрати» дійсно становить 50%.

Але з цього моменту, якщо припустити послідовні експерименти, і той факт, що SB не сказано, в якому експерименті вона зараз перебуває, в будь-який момент, коли вона прокинулася, ймовірність "кинути" Голову набагато менше, оскільки вона, швидше за все, буде прокинувся з одного з мільйонів пробуджень, ніж з одного.

Зауважимо, що це передбачає послідовні експерименти відповідно до формулювання проблеми. Якщо СБ запевняє з початку експерименту, що буде лише один експеримент (тобто лише одна тоїнна кошачка), то її віра повертається до 50%, оскільки в будь-який момент часу, можливо, вона прокинулася багато разів раніше зараз стає неактуальним. Іншими словами, в цьому контексті ймовірність «правильно вибрати» та «правильно обрати» знову стає рівнозначною.

Зауважимо також, що будь-яке перефразування, що використовує "ставки", - це також різні питання, що повністю змінюють контекст. Наприклад, навіть в одному експерименті, якби ви заробляли гроші кожен раз, коли правильно здогадалися, ви, очевидно, пішли б за хвости; але це тому, що очікувана винагорода вища, а не тому, що ймовірність хвостів відрізняється від голов. Тому будь-які «рішення», що запроваджують ставки, справедливі лише в тій мірі, в якій вони руйнують проблему до дуже конкретного тлумачення.

Перед тим, як СБ лягає спати, вона вважає, що шанс наступного перевертання монети бути головою - 1/2. Після того, як вона прокидається, вона вважає, що ймовірність того, що останнім монетом перевернули голову, є 1/3. Ці події - це не одне й те саме, тому що між пробудженням і перевертанням монети немає відповідності один одному.

Як щодо наступного рішення:

Питання в тому, щоб оцінити ймовірність того, що монета підійде "головами". Отже, якби Сплячу красуню прокинули в понеділок і знали, який це день, їй би справді довелося повірити, що ймовірність «голови» становить 50%.

Однак, якби її розбудили у вівторок і знали, який саме день, ймовірність появи монети на голову була б нульовою.

Таким чином, знання того, в який день додається важлива інформація, що змінює ймовірність "голови".

Спляча красуня, однак, не знає, який день, коли вона прокидається. Таким чином, нам потрібно визначити ймовірність пробудження або в понеділок, або у вівторок відповідно.

Спочатку розглянемо ймовірність того, що це буде вівторок. Коли експериментатор гортає монету, результат вирішує, за яким сценарієм експерименту він буде слідувати. Якщо це голови, СБ прокидається лише в понеділок. Якщо це хвости, її прокидають і в понеділок, і у вівторок. Ймовірність експерименту, який проходить одним із цих шляхів, очевидно, становить 50/50. Тепер, якщо ми перебуваємо у гілці "двох пробуджень", ймовірність того, що це буде вівторок чи понеділок, коли СБ прокинеться, обидва - 50%. Таким чином, ми можемо обчислити загальну ймовірність того, що це буде вівторок, коли СБ прокинеться як 0,5 * 0,5 = 0,25. Очевидно, тоді ймовірність того, що вона стане понеділком, коли вона прокинеться, становить 1-0,25 = 0,75

Якби СБ знала, що вона прокинулася у вівторок, ймовірність того, що монета підійде «головами», була б нульовою.

Якби вона, однак, знала, що прокинулася в понеділок, ймовірність того, що монета підійде "головами", була б 50%. Але ми знаємо, що ймовірність того, що це понеділок, становить 0,75. Отже, щоб дізнатись загальну ймовірність появи монети на "голови", нам потрібно помножити 0,75 * 0,5 = 0,375

Відповідь, таким чином, ймовірність того, що монета придумала "голови", становить 37,5%

Сказане - лише пропозиція. Будь ласка, вкажіть, якщо ви бачите недоліки в моїх міркуваннях.