42

Я збентежений. Я не розумію різницю ARMA та GARCH-процесу .. для мене є однакові ні?

Ось процес (G) ARCH (p, q)

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

А ось ARMA ( ): $p, q$

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

Чи ARMA є просто розширенням GARCH, GARCH використовується лише для повернень і з припущенням де дотримується сильного білого процесу? $r = \sigma\varepsilon$ $\varepsilon$

arima garch finance

— Джон
джерело

1

Окрім відповіді fg nu, процес дисперсії в GARCH відрізняється часом. Однак є хитрість у тому, що, враховуючи часовий ряд журналу повернення SP500, щоб потім отримати процес нестабільності, що нам робити? Деякі люди кажуть, що нам потрібно використовувати модель ARMA для виведення залишкового ряду, а потім підключити цей залишковий ряд до моделі GARCH, щоб отримати процес умовної дисперсії? Або безпосередньо підключити модуль повернення журналу процес повернення журналу SP500 в модель GARCH для отримання умовної дисперсії?

48

Ви поєднуєте особливості процесу з його поданням. Розглянемо процес (повернення) . $(Y_t)_{t=0}^\infty$

Модель ARMA (p, q) визначає умовне середнє значення процесу як

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$ Тут - це інформація, встановлена в момент , що є -алгебра, породжена відсталими значеннями результату процесу .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

Модель GARCH (r, s) визначає умовну дисперсію процесу $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

Зокрема, зверніть увагу на першу еквівалентність . $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

Убік : Виходячи з цього подання, ви можете написати де є сильним процесом білого шуму, але це випливає із способу визначення процесу.

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

Дві моделі (для умовного середнього та дисперсійного) ідеально сумісні одна з одною, оскільки середнє значення процесу можна моделювати як ARMA, а дисперсії - як GARCH. Це призводить до повної специфікації моделі ARMA (p, q) -GARCH (r, s) для процесу, як у наступному поданні $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

— чакраварти
джерело

Чи не слід було б ви підходити до інформації в час якщо всі регресори відстали?

t - 1

$t-1$

— Jase

@Jase Зауважте визначення "Тут, - це інформація, встановлена в момент , яка є -алгебра, породжена відсталими значеннями результату процесу ." Тобто . Деякі автори записують це як але це суперечить поняттю інформації, встановленої в момент .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

— чакраварти

Приємно! Чи знаєте ви, чому ми використовуємо сигма-алгебру, а не фільтрацію?

— Jase

1

@Jase, послідовність наборів інформації являє собою фільтрацію .

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

— чакраварти

16

Редагувати: Я зрозумів, що відповіді бракує, і тому я дав більш точну відповідь (див. Нижче - а може і вище). Я відредагував цю фактичну помилку і залишаю її для запису.

Різні параметри фокусування:

ARMA - це модель для реалізації стохастичного процесу, що накладає конкретну структуру умовного середнього процесу.
GARCH - модель для реалізації стохастичного процесу, що накладає специфічну структуру умовної дисперсії процесу.

~~Стохастична проти детермінованої моделі:~~

ARMA - це стохастична модель в тому сенсі, що залежна змінна - реалізація стохастичного процесу - визначається як сума детермінованої функції відсталої залежної змінної та помилкової помилки моделі (умовна середня величина) та терміна стохастичної помилки.
GARCH є детермінованою моделлю в тому сенсі, що залежна змінна - умовна дисперсія процесу - є суто детермінованою функцією відсталих змінних.

— Річард Харді
джерело

1

Умовна дисперсія процесу GARCH є детермінованою у визначеному вами сенсі, але процес GARCH - ні, оскільки , а не залежить від відставання .

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

— mpiktas

1

@mpiktas, Правда. Якщо модель GARCH містить два рівняння, одне для умовного середнього (приклад, про який ви писали вище), а інше для умовної дисперсії (що інтуїтивно, хоча і не математично, "головне рівняння" моделі), мій аргумент застосовується лише до останнього рівняння.

— Річард Харді

10

АРМА

Розглянемо що слід за процесом ARMA ( ). Припустимо, для простоти він має нульову середню і постійну дисперсію. Умовно на інформаційному , може бути розділена на відомій (зумовленого) частину (що умовне середнє даного ) і випадкової частини : $y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

де - деяка щільність. $D$

Сам умовний середній слідує за процесом, аналогічним ARMA ( ), але без терміна випадкової одночасної помилки: де ; для ; і для . Зауважте, що цей процес має порядок ( ), а не ( ), як . $\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

Ми також можемо записати умовний розподіл з точки зору його минулих умовних засобів (а не минулих реалізованих значень) та параметрів моделі як $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

Останнє подання полегшує порівняння ARMA з GARCH та ARMA-GARCH.

GARCH

Розглянемо що слідує за процесом GARCH ( ). Припустимо, для простоти він має постійне значення. Тоді $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

де а - деяка щільність. $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

Умовна дисперсія підходить черга процесу , подібний АРМА ( ) , але без випадкового одночасного терміну помилки. $\sigma_t^2$ $s,r$

АРМА-ГАРЧ

Розглянемо який має безумовний середній нуль і слід за процесом ARMA ( ) -GARCH ( ). Тоді $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

де ; - деяка щільність, наприклад, нормальна; для ; і для . $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

Умовне середнє процесу завдяки АРМА має по суті ту ж форму, що і умовної дисперсії процесу з - за GARCH, тільки відставання замовлень може відрізнятися ( з урахуванням ненульовий безумовної середнього не повинні змінювати цей результат значно). Важливо, що жоден з випадкових помилок, що колись обумовлені , не означає , що обидва є заздалегідь визначеними. $y_t$ $I_{t-1}$

— Річард Харді
джерело

3

Процеси ARMA та GARCH дуже схожі за своєю презентацією. Роздільна лінія між ними дуже тонка, оскільки ми отримуємо GARCH, коли для варіації помилок передбачається процес ARMA.

— user36853
джерело

Чим відрізняється GARCH від ARMA?

АРМА

GARCH

АРМА-ГАРЧ