Чи робить Вольфрам Mathworld помилку, описуючи дискретний розподіл ймовірностей з функцією густини ймовірностей?

Зазвичай розподіл ймовірності на дискретні змінні описується за допомогою функції масової ймовірності (PMF):

Працюючи з безперервними випадковими змінними, ми описуємо розподіли ймовірностей за допомогою функції щільності ймовірностей (PDF), а не функції масової ймовірності.

- Глибоке навчання Гудффелла, Бенджо та Курвіля

Однак Wolfram Mathworld використовує PDF для опису розподілу ймовірностей по дискретних змінних:

Це помилка? чи це не має великого значення?

Це не помилка: при формальному трактуванні ймовірності за допомогою теорії вимірювань функція густини ймовірності є похідною від міри ймовірності інтересу, взятої стосовно "домінуючої міри" (її також називають "еталонною мірою"). Для дискретних розподілів на цілі числа функція маси ймовірностей є функцією густини відносно міри підрахунку . Оскільки функція маси ймовірностей є певним типом функції щільності ймовірності, іноді ви знайдете такі посилання, які посилаються на неї як на функцію щільності, і вони неправильно посилаються на неї таким чином.

У звичайному дискурсі щодо ймовірності та статистики часто уникають цієї термінології та проводять розмежування між "функціями маси" (для дискретних випадкових змінних) та "функціями щільності" (для безперервних випадкових величин), щоб розрізнити дискретні та безперервні розподіли. В інших контекстах, де можна констатувати цілісні аспекти вірогідності, часто краще ігнорувати відмінність і називати їх як "функції щільності".

Окрім більш теоретичної відповіді з точки зору теорії вимірювань, також зручно не розрізняти pmfs та pdfs у статистичному програмуванні. Наприклад, R має безліч вбудованих розподілів. Для кожного розподілу він має 4 функції. Наприклад, для звичайного розподілу (з файлу довідки):

dnorm gives the density, pnorm gives the distribution function, qnorm gives the quantile function, and rnorm generates random deviates.

Користувачі R швидко починають використовувати d,p,q,rпрефікси. Буде прикро, якби вам довелося зробити щось на зразок краплі dта використання, mнаприклад, біноміального розподілу. Натомість все, як очікував користувач R:

dbinom gives the density, pbinom gives the distribution function, qbinom gives the quantile function and rbinom generates random deviates.