Чи рівномірно розподілені відмінності між рівномірно розподіленими числами?

Велику кількість разів катаємо 6-сторонні штампи.

Обчислюючи різницю (абсолютне значення) між рулоном та його попереднім рулоном, чи очікується, що різниці розподіляться рівномірно?

Для ілюстрації з 10 рулонів:

roll num  result diff
1           1     0
2           2     1
3           1     1
4           3     2
5           3     0
6           5     2
7           1     4
8           6     5
9           4     2
10          4     0

Чи diffрозподіляли б значення рівномірно?

Ні, вона не є рівномірною

Можна порахувати $36$ однаково вірогідних можливостей абсолютних різниць

     second 1   2   3   4   5   6
first                           
1           0   1   2   3   4   5
2           1   0   1   2   3   4
3           2   1   0   1   2   3
4           3   2   1   0   1   2
5           4   3   2   1   0   1
6           5   4   3   2   1   0

що дає розподіл ймовірності для абсолютних різниць

0    6/36  1/6
1   10/36  5/18
2    8/36  2/9
3    6/36  1/6
4    4/36  1/9
5    2/36  1/18

Використовуючи лише найосновніші аксіоми щодо ймовірностей та дійсних чисел, можна довести набагато сильніше твердження:

Різниця будь-яких двох незалежних, однаково розподілених неконстантних випадкових значень $X-Y$ ніколи не має дискретного рівномірного розподілу.

(Аналогічне твердження для безперервних змінних доведено в Уніфікованому PDF різниці двох обертів .)

Ідея полягає в тому, що шанс $X-Y$ є крайнім значенням повинен бути меншим, ніж шанс, що $X-Y$ дорівнює нулю, оскільки існує лише один спосіб (скажімо) максимізувати $X-Y$ тоді як існує багато способів зробити різницю нульовою , оскільки $X$ і $Y$ мають однаковий розподіл і тому можуть дорівнювати один одному. Ось деталі.

Спершу зауважте, що відповідні гіпотетичні дві змінні $X$ і $Y$ можуть досягти лише кінцевого числа $n$ значень з позитивною ймовірністю, оскільки буде принаймні $n$ чітких відмінностей, і рівномірний розподіл призначає їм всі рівні ймовірності. Якщо $n$ нескінченно, то так би було число можливих різниць, що мають позитивну, рівну ймовірність, звідки сума їх шансів була б нескінченною, що неможливо.

Далі , оскільки кількість відмінностей скінченна, серед них буде найбільша кількість. Найбільша різниця може бути досягнута лише при відніманні найменшого значення виклику $Y$ --лету $m$ і припустимо, що він має ймовірність $q = \Pr(Y=m)$ --від найбільшого значення виклику $X$ --let, що той $M$ з $p = \Pr(X=M).$ Тому що$X$ і$Y$ незалежні, ймовірність цієї різниці є результатом цих шансів,

Нарешті , оскільки $X$ і $Y$ мають однакове розподіл, є багато способів їх відмінності можуть продукувати значення $0.$ Серед цих способів є випадки , коли $X=Y=m$ і $X=Y=M.$ Оскільки цей розподіл непостійне, $m$ відрізняється від $M.$Це показує, що ці два випадки є непересічними подіями, і тому вони повинні внести принаймні суму $p^2 + q^2$ до шансу, що$X-Y$дорівнює нулю; це є,

Оскільки квадрати чисел не від'ємні, $0 \le (p-q)^2,$ звідки виведемо з $(*)$ що

показує розподіл $X-Y$ не рівномірно, QED.

Редагувати у відповідь на коментар

Аналогічний аналіз абсолютних різниць $|X-Y|$зазначає , що , так як $X$ і $Y$ мають однакове розподіл, $m=-M.$Це вимагає від нас вивчення $\Pr(X-Y=|M-m|) = 2pq.$Та сама алгебраїчна техніка дає майже такий же результат, але існує ймовірність, що $2pq=2pq+(p-q)^2$ і $2pq+p^2+q^2=1.$ Ця система рівнянь має єдине рішення$p=q=1/2$ , що відповідає справедливій монети (а «двосторонній померти»). Крім цього винятку, результат для абсолютних різниць такий самий, як і для відмінностей, і з тих самих наведених причин: а саме абсолютні відмінності двох iid випадкових величин не можуть бути рівномірно розподілені, коли існує більше двох чітких відмінностей з позитивною ймовірністю.

(кінець редагування)

Давайте застосуємо цей результат до питання, яке задає щось трохи складніше.

Моделюйте кожен незалежний рулон штамп (що може бути несправедливим штампом) випадковою змінною $X_i,$ $i=1, 2, \ldots, n.$ Відмінності, які спостерігаються в цих $n$ рулонах, - це числа $\Delta X_i = X_{i+1}-X_i.$ Нам може бути цікаво, наскільки рівномірно розподілені ці $n-1$ числа. Це справді питання щодо статистичних очікувань: яка очікувана кількість $\Delta X_i$ , наприклад, нулю? Яка очікувана кількість $\Delta X_i$ дорівнює$-1$ ? І т.д.

Проблемним аспектом цього питання є те, що $\Delta X_i$ не є незалежними: наприклад, $\Delta X_1 = X_2-X_1$ і $\Delta X_2 = X_3 - X_2$ включають один і той же рулон $X_2.$

Однак це насправді не складно. Оскільки статистичне очікування є адитивним, і всі відмінності мають однаковий розподіл, якщо ми виберемо будь-яке можливе значення $k$ різниці, очікувана кількість разів різниця дорівнює $k$ у всій послідовності $n$ рулонів, що становить лише $n-1$ рази більше очікуваної кількості разів різниця дорівнює $k$ на одному кроці процесу. Це однокрокове очікування $\Pr(\Delta X_i = k)$ (для будь-якого $i$ ). Ці очікування будуть однаковими для всіх $k$ (тобто рівномірними ) тоді і лише тоді, коли вони однакові для одного $\Delta X_i.$ But we have seen that no $\Delta X_i$ has a uniform distribution, even when the die might be biased. Thus, even in this weaker sense of expected frequencies, the differences of the rolls are not uniform.

On an intuitive level, a random event can only be uniformly distributed if all of its outcomes are equally likely.

Is that so for the random event in question -- absolute difference between two dice rolls?

It suffices in this case to look at the extremes -- what are the biggest and smallest values this difference could take?

Obviously 0 is the smallest (we're looking at absolute differences and the rolls can be the same), and 5 is the biggest (6 vs 1).

We can show the event is non-uniform by showing that 0 is more (or less) likely to occur than 5.

At a glance, there are only two ways for 5 to occur -- if the first dice is 6 and the second 1, or vice versa. How many ways can 0 occur?

As presented by Henry, differences of uniformly distributed distributions are not uniformly distributed.

To illustrate this with simulated data, we can use a very simple R script:

barplot(table(sample(x=1:6, size=10000, replace=T)))

We see that this produces indeed a uniform distribution. Let's now have a look at the distribution of the absolute differences of two random samples from this distribution.

barplot(table(abs(sample(x=1:6, size=10000, replace=T) - sample(x=1:6, size=10000, replace=T))))

Others have worked the calculations, I will give you an answer that seems more intuitive to me. You want to study the sum of two unifrom r.v. (Z = X + (-Y)), the overall distribution is the (discrete) convolution product :

This sum is rather intuitive : the probability to get $z$, is the sum of the probabilities to get something with X (noted $k$ here) and the complement to $z$ with -Y.

From signal processing, we know how the convolution product behave:

• The convolution product of two uniform function (two rectangles) will give a triangle. This is illustrated by wikipedia for continuous functions:

• You can understand what happen here : as $z$ move up (the vertical dotted line) the common domain of both rectangle move up then down, which correspond to the probability to get $z$.

• More generally we know that the only functions that are stable by convolution are those of the gaussian familly. i.e. Only gaussian distribution are stable by addition (or more generally, linear combination). This is also meaning that you don't get a uniform distribution when combining uniform distributions.

As to why we get those results, the answer lies in the Fourrier decomposition of those functions. The Fourrier transformation of a convolution product being the simple product of the Fourrier transformations of each function. This give direct links between the fourrier coefficients of the rectangle and triangle functions.

If $x$ and $y$ are two consecutive dice rolls, you can visualize $|x-y| = k$ (for $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$) as follows where each color corresponds to a different value of $k$:

As you can easily see, the number of points for each color is not the same; therefore, the differences are not uniformly distributed.

Let $D_t$ denote the difference and $X$ the value of the roll, then $P(D_t = 5) = P(X_t = 6, X_{t-1} = 1) < P((X_t, X_{t-1}) \in \{(6, 3), (5, 2)\}) < P(D_t = 3)$

So the function $P(D_t = d)$ is not constant in $d$. This means that the distribution is not uniform.