Трансформація для збільшення куртозу та косості нормальних об

Я працюю над алгоритмом, який спирається на те, що спостереження $Y$ s зазвичай розподіляються, і я хотів би перевірити стійкість алгоритму до цього припущення емпірично.

Щоб зробити це, я шукав послідовність перетворень $T_1(), \dots, T_n()$ , яка буде поступово руйнувати нормальності $Y$ . Наприклад, якщо $Y$ s нормальні, вони мають косисть $= 0$ і куртоз $= 3$ , і було б непогано знайти послідовність перетворень, яка прогресивно збільшує обидва.

Моя ідея полягала в тому, щоб імітувати деякі нормально приблизно розподілені дані і перевірити алгоритм на цьому. Тоді алгоритм тестування для кожного перетвореного набору даних T 1 ( Y ) , … , T n ( y ) , щоб побачити, наскільки змінюється вихід.$Y$$T_1(Y), \dots, T_n(y)$

Зверніть увагу, що я не контролюю розподіл модельованого s, тому не можу імітувати їх за допомогою розподілу, який узагальнює нормальне (наприклад, скасований генералізований розподіл помилок).$Y$

Це можна зробити, використовуючи перетворення синх-арчіна з

Джонс, МС та Певсі А. (2009). Син-арчінгові розподіли . Біометріка 96: 761–780.

Перетворення визначається як

де і δ ∈ R + . Коли це перетворення застосовується до нормального CDF S ( x ; ϵ , δ ) = Φ [ H ( x ; ϵ , δ ) ] , воно виробляє одномодальний розподіл, параметри якого ( ϵ , δ ) керують косою і куртозом відповідно (Джонс та Pewsey, 2009), у значенні ван Цвета (1969) . Крім того, якщо ϵ = 0 і $\epsilon \in{\mathbb R}$$\delta \in {\mathbb R}_+$$S(x;\epsilon,\delta)=\Phi[H(x;\epsilon,\delta)]$$(\epsilon,\delta)$$\epsilon=0$ , ми отримуємо початковий нормальний розподіл. Дивіться наступний код R.$\delta=1$

fs = function(x,epsilon,delta) dnorm(sinh(delta*asinh(x)-epsilon))*delta*cosh(delta*asinh(x)-epsilon)/sqrt(1+x^2)

vec = seq(-15,15,0.001)

plot(vec,fs(vec,0,1),type="l")
points(vec,fs(vec,1,1),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,2,1),type="l",col="blue")
points(vec,fs(vec,-1,1),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,-2,1),type="l",col="blue")

vec = seq(-5,5,0.001)

plot(vec,fs(vec,0,0.5),type="l",ylim=c(0,1))
points(vec,fs(vec,0,0.75),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,0,1),type="l",col="blue")
points(vec,fs(vec,0,1.25),type="l",col="red")
points(vec,fs(vec,0,1.5),type="l",col="blue")

Тому, вибравши відповідну послідовність параметрів $(\epsilon_n,\delta_n)$ , можна сформувати послідовність розподілів / перетворень з різними рівнями косості та куртозу та зробити їх схожими або такими ж різними, як і звичайне розподіл.

Наступний графік показує результат, отриманий кодом R. Для (i) і δ = 1 , і (ii) ϵ = 0 і δ = ( 0,5 , 0,75 , 1 , 1,25 , 1,5 ) .$\epsilon=(-2,-1,0,1,2)$$\delta=1$ $\epsilon=0$$\delta=(0.5,0.75,1,1.25,1.5)$

Моделювання цього розподілу є простим, враховуючи, що вам просто потрібно перетворити звичайний зразок, використовуючи обернену .$(\star)$

Це можна зробити за допомогою випадкових змінних / розподілів Ламберта W x F. Випадкова величина Ламберта W x F (RV) є нелінійно перетвореною (RV) X з розподілом F.

$\alpha = 1$Gaussianize() ваші дані.

Вони реалізовані в Росії

Перетворення Ламберта W x F мають 3 аромати:

• type = 's'$\gamma \in R$
• type = 'h'$\delta \geq 0$$\alpha$ )
• type = 'hh'$\delta_l, \delta_r \geq 0$

Див. Посилання на перекошені та важкі хвости (відмова: Я автор.)

У R ви можете змоделювати, оцінити, побудувати графік тощо декілька розподілів Lambert W x F за допомогою пакета LambertW .

library(LambertW)
library(RColorBrewer)
# several heavy-tail parameters
delta.v <- seq(0, 2, length = 11)
x.grid <- seq(-5, 5, length = 100)
col.v <- colorRampPalette(c("black", "orange"))(length(delta.v))

plot(x.grid, dnorm(x.grid), lwd = 2, type = "l", col = col.v[1],
     ylab = "")
for (ii in seq_along(delta.v)) {
  lines(x.grid, dLambertW(x.grid, "normal", 
                          theta = list(delta = delta.v[ii], beta = c(0, 1))),
        col = col.v[ii])
}
legend("topleft", paste(delta.v), col = col.v, lty = 1,
       title = "delta = ")

$\gamma$$\delta_l$$\delta_r$

Однією з таких послідовностей є експоненція в різному ступені. Напр

library(moments)
x <- rnorm(1000) #Normal data
x2 <- 2^x #One transformation
x3 <- 2^{x^2} #A stronger transformation
test <- cbind(x, x2, x3) 
apply(test, 2, skewness) #Skewness for the three distributions
apply(test, 2, kurtosis) #Kurtosis for the three distributions

$x^{1.1}, x^{1.2} \dots x^2$

Відповідь така ж, як @ user10525, але в python

import numpy as np
from scipy.stats import norm
def sinh_archsinh_transformation(x,epsilon,delta):
    return norm.pdf(np.sinh(delta*np.arcsinh(x)-epsilon))*delta*np.cosh(delta*np.arcsinh(x)-epsilon)/np.sqrt(1+np.power(x,2))


vec = np.arange(start=-15,stop=15+0.001,step=0.001)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,0,1))
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,1,1),color='red')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,2,1),color='blue')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,-1,1),color='red')
plt.plot(vec,sinh_archsinh_transformation(vec,-2,1),color='blue')

[