Розподіли, відмінні від звичайних, де середнє значення та дисперсія не залежать

Мені було цікаво, чи існують якісь розподіли, крім нормальних, де середнє значення та дисперсія не залежать один від одного (або іншими словами, коли дисперсія не є функцією середнього).

distributions

— Вольфганг
джерело

Я не впевнений, чи правильно я розумію питання. Ви питаєте, чи існують якісь розподіли, крім звичайних, які повністю задані середнім значенням та дисперсією? У певному сенсі дисперсія є функцією середнього, оскільки це міра дисперсії навколо середнього, але я думаю, це не те, що ви маєте на увазі.

ви маєте на увазі середнє значення вибірки

та дисперсія вибірки

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

незалежні. Гарне питання ! можливо, проектування гауссової випадкової змінної збереже незалежність?

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

— Робін Жирард

Срікант має рацію. Якщо питання задається "середньою вибіркою та дисперсією", то відповідь "ні". Якщо питання стосується середньої чисельності населення та різниці, то відповідь - так; Девід наводить хороші приклади нижче.

Просто для уточнення, що я мав на увазі це. Для нормального розподілу середнє

та дисперсія

повністю характеризують розподіл, а

не є функцією

. Для багатьох інших дистрибуцій це не так. Наприклад, для біноміального розподілу маємо середнє

та дисперсію

, тому дисперсія є функцією середнього. Іншими прикладами є розподіл гами з параметрами

(масштаб) та

(форма), де середнє значення

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$ а дисперсія

, тому дисперсія насправді

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$

— Вольфганг

Тоді, будь ласка, подумайте про те, щоб змінити своє запитання, оскільки відповідь, яку ви перевірили як свою бажану відповідь, не відповідає на запитання, як воно є (і інший). В даний час ви вживаєте слово "незалежний" ідіосинкратично. Ваш приклад із Gamma показує це: можна було просто перематеризувати Гамму з точки зору середнього (mu) та дисперсії (sigma), тому що ми можемо відновити theta = sigma / mu та kappa = mu ^ 2 / sigma. Іншими словами, функціональна «незалежність» параметрів зазвичай безглузда (за винятком однопараметричних сімей).

— whuber

Відповіді:

Примітка. Будь ласка, прочитайте відповідь від @G. Джей Кернс, і див. Carlin and Lewis 1996 або улюблену посилання на ймовірність для передумови щодо обчислення середнього та дисперсії як очікуваного значення та другого моменту випадкової величини.

Швидке сканування Додатку А у Карліні та Льюїсі (1996) забезпечує такі розподіли, подібні в цьому відношенні до нормальних, оскільки одні і ті ж параметри розподілу не використовуються при розрахунках середнього та дисперсії. Як вказував @robin, при обчисленні оцінок параметрів з вибірки середнє значення вибірки потрібно для обчислення сигми.

Багатоваріантний нормальний

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = Σ

$Var(X) = \Sigma$

t і багатофакторний t:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = ν σ^{2} / (ν - 2)

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

Подвійна експоненція:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

Коші: За певної кваліфікації можна стверджувати, що середня величина та дисперсія Коші не залежать.

$E(X)$ $Var(X)$

Довідково

Карлін, Бредлі П. і Томас А. Луї. 1996. Байєс та емпіричні методи Баєса для аналізу даних, 2-е видання. Chapman and Hall / CRC, Нью-Йорк

— Девід Лебоуер
джерело

У будь -якій сім’ї, що має масштаби місцеположення, середня величина та відхилення будуть функціонально незалежними таким чином!

— whuber

Девід, подвійний показник - відмінний приклад. Спасибі! Я про це не думав. Розподіл t також є хорошим прикладом, але чи не E (X) = 0 і Var (X) = v / (v-2)? Або Карлін та ін. (1996) визначити узагальнену версію t-розподілу, яка зміщена в середньому і масштабується сигмою ^ 2?

— Вольфганг

Ви вірні, t-розподіл, як видається, часто характеризується середнім значенням = 0 та дисперсією = 1, але загальний pdf для t, наданий Карліном та Луїсом, явно включає в себе і сигму, і мю; Параметр nu припадає на різницю між нормальним і t.

— Девід Лебоуер

Насправді відповідь - «ні». Незалежність середньої вибірки та дисперсії характеризують нормальний розподіл. Це показав Євген Лукач у «Характеризації нормального розподілу», «Анали математичної статистики», Vol. 13, № 1 (березень, 1942 р.), Стор 91-93.

Я цього не знав, але Феллер, "Вступ до теорії ймовірностей та її застосувань, Том II" (1966, стор. 86) говорить, що RC Geary також це довів.

@onestop Я гадаю, це нещасний артефакт мого віку. Не заперечно сказати, що книги Феллера революціонували, як це було зроблено в усьому світі. Значна частина нашого сучасного позначення пов'язана саме з ним. В протягом багатьох десятиліть, його книги були на імовірнісні книги для вивчення. Можливо, вони таки повинні бути. BTW: Я додав назву для тих, хто не чув про його книги.

Я задав питання про інші прикольні характеристики ... stats.stackexchange.com/questions/4364/…

— robin girard

Джей, дякую за посилання на документ Лукача, який чудово показує, що середнє значення та дисперсія вибірки серед вибірки є незалежними лише для нормального розподілу. Щодо другого центрального моменту, то є деякі розподіли, де це не функція першого моменту (Девід наводив кілька прикладних прикладів).

— Вольфганг

Гірі, RC (1936), "Розподіл співвідношення" студента "для ненормальних проб", журнал Королівського статистичного товариства, доп. 3, 178–184.

— vqv