Яка найбільша з групи нормально розподілених випадкових змінних?

14

У мене є випадкові змінні . має нормальний розподіл із середнім та дисперсією . У RVS нормально розподілені із середнім і дисперсією . Все взаємно незалежне. $X_0,X_1,\dots,X_n$ $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$

Нехай позначає подію, що є найбільшою з них, тобто . Я хочу обчислити або оцінити . Я шукаю вираз для , як функції , або розумної оцінки чи наближення для . $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

У моєму додатку $n$ є фіксованим ( $n=61$ ), і я хочу знайти найменше значення для $\mu$ яке становить $\Pr[E] \ge 0.99$ , але мені цікаво і загальне питання.

probability normal-distribution

— DW
джерело

Наскільки великий

n

$n$ ? Повинно бути кілька хороших асимптотичних виразів, заснованих на теорії великого зразка.

— whuber

@whuber, дякую! Я відредагував питання: у моєму випадку

n = 61

$n=61$ . Навіть якщо

n = 61

$n=61$ недостатньо великий, щоб вважати великим, якщо є хороші асимптотичні оцінки у випадку, коли

n

$n$ великий, це було б цікаво.

— DW

5

Використовуючи числову інтеграцію, .

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

— whuber

14

Обчислення таких ймовірностей широко вивчено інженерами зв'язку під назвою ортогональна сигналізація де модель полягає в тому, що один з однаково ймовірних ортогональних сигналів передається однаково, і приймач намагається визначити, який з них переданий, досліджуючи Виходи фільтрів відповідають сигналам. Залежно від ідентичності переданого сигналу, вибіркові виходи відповідних фільтрів є (умовно) незалежними відхиленнями одиничних нормальних випадкових величин. Вибірна вибірка фільтра, відповідна переданому сигналу, є випадковою величиною, тоді як виходи всіх інших фільтрів - $M$ $M$ $M$ $N(\mu,1)$ $N(0,1)$ випадкові змінні.

Умовна ймовірність правильного рішення (яке в даному контексті є подія ) обумовлено є де - кумулятивний розподіл ймовірності стандарту нормальна випадкова величина, а значить, безумовна ймовірність - де $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} < α ∣ X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$ є стандартною функцією нормальної щільності. Немає виразу закритої форми для значення цього інтеграла, яке слід оцінювати чисельно. Інженери також зацікавлені в доповнюючій події - що рішення приймається помилково - але не люблять обчислювати це як оскільки це вимагає дуже ретельного оцінювання інтеграла для з точністю до багатьох значущих цифр, і така оцінка є важкою і трудомісткою. Натомість інтеграл для можна інтегрувати частинами, щоб отримати

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$

1 - P (C)

$1-P(C)$

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$ Цей інтеграл простіше оцінити чисельно, і його значення як функції відображено та відображено у таблиці (хоча, на жаль, лише для ) у главі 5 інженерії телекомунікаційних систем Ліндсі та Саймона, Prentice-Hall 1973, Dover Натисніть 1991. Як інженер, інженери використовують нерівність, пов'язану з об'єднанням, або нерівність Бонферроні де - додаткова функція нормального кумулятивного розподілу.

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

\begin{aligned} P {X_{0} < max_{i} X_{i}} & = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} P {X_{0} < X_{i}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

Із зв'язаного об'єднання ми бачимо, що бажане значення для обмежене вище на яке пов'язане має значення при . Це трохи більше, ніж більш точне значення отримане @whuber шляхом числової інтеграції. $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

Більш детальну дискусію та деталі щодо ортогональної сигналізації можна знайти на стор. 161-179 моїх лекційних записок для заняття із систем зв'язку " $M$

— Діліп Сарват
джерело

4

Офіційна відповідь:

Розподіл (щільність) ймовірності для максимум становить: де - щільність ймовірності, а - накопичувальна функція розподілу . $N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

З цього ви можете обчислити ймовірність того, що більший за інші через $X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

Можливо, вам доведеться розглянути різні наближення, щоб простежити це з урахуванням конкретної програми.

— Дейв
джерело

6

+1 Власне, подвійний інтеграл спрощується в єдиний інтеграл, оскільки даючи , те саме, що в моїй відповіді.

\int_{y}^{\infty} p (x_{0}) d x_{0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$

— Діліп Сарват