Розподіл з

Чи є там інформація про розподіл, чий $n$ кумулянт задається $\frac 1 n$ ? Функція, що генерує кумулянт, має вигляд

κ (t) = \int_{0}^{1} \frac{e^{t x} - 1}{x} d x .

$\kappa(t) = \int_0 ^ 1 \frac{e^{tx} - 1}{x} \ dx.$ Я зіткнувся з цим як обмежуючий розподіл деяких випадкових змінних, але я не зміг знайти жодної інформації про нього.

distributions mgf cumulants

— хлопець
джерело

Я не бачу, що ця функція

яку ви надали, має властивість заявленого! Вам слід переглянути йоїрську роботу. Наближаючи експоненціальний n інтеграл, близький до нуля,

, інтеграл, близький до нуля, стає

, тому розходяться. Отже, цей інтеграл не може представляти кумулянтну формуючу функцію.

κ (t)

$\kappa(t)$

1 + t x

$1+tx$

t / x

$t/x$

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen не впевнений, що я слідую. Апроксимація

дає

e^{t x}

$e^{tx}$

1 + t x

$1 + tx$

для інтеграла. Також відповідно доцьогофункція, яку я дав, має відомий інтеграл з точки зору гіперболічних косинусних та синусових інтегралів. Щоб показати, щовластивість

має заявлену властивість, просто зробіть повний ряд Тейлора навколо

для

і просуньте інтеграл через підсумок, щоб отримати ряд Тейлора для

навколо

\frac{t x}{x} = t

$\frac{tx}{x} = t$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

e^{t x}

$e^{tx}$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

— хлопець

Симпі каже, що інтеграл розходяться (по-своєму ексцентрично!). Але симфія повинна бути помилковою, я бачу це зараз, експериментуючи з деякою числовою інтеграцією, і це працює добре. Спробую ще раз.

— kjetil b halvorsen

Дивлячись на результат альфа Wolphram, він також не може бути правильним, він має ненульовий межа, коли t наближається до нуля, тоді як

чітко.

κ (0) = 0

$\kappa(0)=0$

— kjetil b halvorsen

Я вважаю, що це абсолютно безперервно на

. Він реалізується як межа сполучених випадкових змінних Пуассона; як

сполука Пуассона зі швидкістю

(0, \infty)

$(0, \infty)$

n \to \infty

$n \to \infty$

і стрибкова щільність розподілу

\int_{1 / n}^{1} \frac{1}{x} d x

$\int_{1/n}^1 \frac 1 x \ dx$

слабко сходиться до цього розподілу.

f_{n} (x) \propto \frac{1}{x} I (1 / n < x < 1)

$f_n(x) \propto \frac 1 x I(1/n < x < 1)$

— хлопець

Знання значень кумулянтів дозволяє нам отримати уявлення про те, як буде виглядати графік цього розподілу ймовірностей. Середнє значення та дисперсія розподілу

E [Y] = κ_{1} = 1, Var [Y] = κ_{2} = \frac{1}{2}

$E[Y] = \kappa_1 =1, \;\; \text{Var}[Y] = \kappa_2 = \frac 12$

в той час як його косоокість і надлишок коефіцієнтів куртозу

γ_{1} = \frac{κ_{3}}{(κ_{2})^{3 / 2}} = \frac{(1 / 3)}{(1 / 2)^{3 / 2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

$\gamma_1 = \frac{\kappa_3}{(\kappa_2)^{3/2}} = \frac{(1/3)}{(1/2)^{3/2}} = \frac{2\sqrt 2}{3}$

γ_{2} = \frac{κ_{4}}{(κ_{2})^{2}} = \frac{(1 / 4)}{(1 / 2)^{2}} = 1

$\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{(\kappa_2)^{2}} = \frac{(1/4)}{(1/2)^{2}} = 1$

Отже, це може бути добре знайомий графік позитивної випадкової величини, що виявляє позитивну косисть. Що стосується перебування розподілу ймовірностей, підхід ремісника може бути , щоб вказати загальне дискретний розподіл ймовірностей, що приймають значення в , з відповідними можливостями $\{0,1,...,m\}$ , а потім використовувати кумулянти для обчислення необроблених моментів з метою формування системи лінійних рівнянь, імовірності яких є невідомими. Кумулянти пов'язані із сирими моментами на $\{p_0,p_1,...,p_m\},\; \sum_{k=0}^mp_k =1$

κ_{n} = μ_{n}^{'} - \sum_{i = 1}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) κ_{i} μ_{n - i}^{'}

$\kappa_n=\mu'_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i-1}\kappa_i \mu_{n-i}'$

\begin{aligned} μ_{1}^{'} = & κ_{1} = 1 \\ μ_{2}^{'} = & κ_{2} + κ_{1}^{2} = 3 / 2 \\ μ_{3}^{'} = & κ_{3} + 3 κ_{2} κ_{1} + κ_{1}^{3} = 17 / 6 \\ μ_{4}^{'} = & κ_{4} + 4 κ_{3} κ_{1} + 3 κ_{2}^{2} + 6 κ_{2} κ_{1}^{2} + κ_{1}^{4} = 19 / 3 \\ μ_{5}^{'} = & κ_{5} + 5 κ_{4} κ_{1} + 10 κ_{3} κ_{2} + 10 κ_{3} κ_{1}^{2} + 15 κ_{2}^{2} κ_{1} + 10 κ_{2} κ_{1}^{3} + κ_{1}^{5} = 243 / 15 \end{aligned}

$\begin{align} \mu'_1=&\kappa_1 =1\\ \mu'_2=&\kappa_2+\kappa_1^2=3/2\\ \mu'_3=&\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3=17/6\\ \mu'_4=&\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4=19/3\\ \mu'_5=&\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5=243/15\\ \end{align}$ If we (momentarily) set

m = 5

$m=5$ we have the system of equations

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{5} p_{k} = & 1, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k = 1 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{2} = & 3 / 2, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{3} = 17 / 6 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{4} = & 19 / 3, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{5} = 243 / 15 \\ s . t . p_{k} \geq 0 \forall k \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^5p_k=&1,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk=1\\ \sum_{k=0}^5p_kk^2=&3/2,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^3=17/6\\ \sum_{k=0}^5p_kk^4=& 19/3 ,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^5= 243/15\\ &s.t. p_k\ge 0 \;\;\forall k\\ \end{align}$

Of course we do not want $m$ to be equal to $5$ . But increasing gradually $m$ (and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.

— Alecos Papadopoulos
джерело

This is cool. Maybe I could do some kind of Edgeworth expansion as well? Actually, I have an idea of what the density looks like already (assuming it exists) since I can simulate directly from it. It is very strange - it looks uniform over some range

(0, a)

$(0, a)$ and then on

(a, \infty)

$(a, \infty)$ it decays with something like an exponential tail (it's been a long time since I did the simulation).

— guy

Thanks. Of course you can always perform an Edgworth expansion based on the cumulants, but I wonder how well it will perform, given the strange shape you describe. It would be interesting to contrast the two.Can you tell me the value for

a

$a$ ?

— Alecos Papadopoulos

Dug up my old code and found

a \approx 1

$a \approx 1$ . If

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ then

[Y ∣ Y < 1]

$[Y \mid Y < 1]$ is approximatey

U (0, 1)

$\mathcal U(0, 1)$ and

[Y - 1 ∣ Y > 1]

$[Y - 1\mid Y > 1]$ is approximately gamma distributed with shape

1.4

$1.4$ and mean

0.64

$0.64$ .

— guy

What do you mean by

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ ?

— Alecos Papadopoulos

So what does the pdf look like then? As for fitting by moments, is the fit 'robust' and 'stable' as one increases the number of moments used (4, 5, 6, 7 or 8 etc), or is it all over the place?

— wolfies