Верхні межі для щільності копули?

Фреш-Хёфдінг верхньої межі відноситься до функції розподілу копули і задається

С (у_{1}, . . ., у_{г}) \leq хв {у_{1}, . ., у_{г}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

Чи є схожа (в тому сенсі, що це залежить від граничної щільності) верхньої межі для щільності копули замість CDF? $c(u_1,...,u_d)$

Будь-яка довідка буде дуже вдячна.

— Коппола
джерело

Яку межу ви шукаєте? Опис вашої реальної проблеми може допомогти. Технічно відповідь "ні" двома різними способами: (i) може не бути щільності (!) Та (b) якби вона була, ми могли б змінити її на наборі міри нуля, щоб бути такою ж великою, як ми " буду подобатися. Ми щось знаємо . Зокрема, припустимо, що

c

$c$ існує і нехай

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$ буде будь-яким (гіпер) прямокутником із довжиною сторони

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$ . Тоді, звичайно,

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— кардинал

Оскільки ви можете легко сконструювати приклади, які задовольняють цю межу, я підозрюю, що не дуже багато чого можна сказати. Але я про це не продумав уважно.

— кардинал

@cardinal Дякую за коментарі. Дійсно, я припускаю, що щільність існує для того, щоб уникнути тривіального випадку. Я шукав верхню межу з точки зору граничної щільності. Мене особливо цікавить копула Гаусса.

— Коппола

Якщо це копула, всі граничні щільності є рівномірними, тобто постійною функцією. :)

— кардинал

@cardinal Прости мою французьку. Дозвольте перефразувати своє запитання. Копула Гаусса (що мене особливо цікавить) задається . Де і . Наприклад, це не може бути обмежене продуктом . Отже, я шукав ще одну верхню межу, яка стосується лише маргіналів. І, звичайно, я намагався поставити питання в більш загальному вигляді, пов'язуючи це з вищезгаданими межами. Вибачте за мої неясні слова.

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$

— Коппола

Взагалі кажучи, ні там немає. Наприклад, у випадку біваріантної гаусової копули кількість у експоненті має точку сідла при (0,0), а тому вибухає до нескінченності у двох напрямках. Якщо ви натрапили на клас щільності копули, який насправді обмежений, будь ласка, дайте мені знати!

— М.Ханкіна
джерело

Чи можете ви пояснити, що ви маєте на увазі під "кількістю в експоненті"? Наявність "точки сідла" не відповідає жодному стандартному визначенню розподілу Гаусса.

— whuber

@whuber Густота гауссової копули не є стандартним гауссом. Якщо ви подивитесь на коментар копполи вище, ви помітите, що щільність копули в гауссі має

де ви очікуєте просто матриці зворотної коваріації. Матриця зворотної коваріації повинна бути напіввизначеною симетричною позитивною, але -I дозволяє не позитивну-визначеність, а отже, і сідлову точку. Його присутність пов'язана зі зміною змінних при переході від

до

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— MHankin

Так, я знаю про це - але це не те, що має на увазі ваша відповідь. Ця копула параметризується кореляційною матрицею

, але для будь-якого такого

це лише функція

. Як такий, він ніколи не «вибухає до нескінченності». Немає дійсних кореляційних матриць

(тобто невироджених), для яких ця копула не обмежена. Ось ці причини я вимагав уточнити вашу відповідь.

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

— whuber

@whuber Я щойно надіслав вам електронну пошту редаговану версію більш глибокого написання мого прикладу. Повідомте мене, якщо ви вважаєте, що це виглядає точно, і тоді я додам це до своєї відповіді вище. [Read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin