Залишки Пірсона

Питання початківця щодо залишків Пірсона в контексті тесту чі-квадрата на придатність придатності:

Як і тестова статистика, chisq.testфункція R повідомляє про залишковий Пірсон:

(obs - exp) / sqrt(exp)

Я розумію, чому погляд на різну різницю між спостережуваними та очікуваними значеннями не є таким інформативним, оскільки менша вибірка призведе до меншої різниці. Однак я хотів би дізнатися більше про ефект знаменника: навіщо ділити на корінь очікуваного значення? Це "стандартизований" залишок?

chi-squared goodness-of-fit residuals

— Ієн Діллінгем
джерело

Знаменник використовується для обліку дисперсії сировинних залишків, яка потім робить залишки Пірсона приблизно одиничною дисперсією (існують інші методи для досягнення цього). Зверніть увагу, що є компонент stdresдля стандартизованих залишків.

— chl

@chl Дякую за швидку відповідь. Однак я не розумію концепцію дисперсії в цьому контексті. Чи знаєте ви якісь ресурси, де я міг би дізнатися більше? Я припускаю, що залишок Пірсона не «стандартизований», враховуючи, що він chisq.testтакож обчислює stdresкомпонент?

— Ієн Діллінгем

Остаточне посилання на аналіз категоричних даних, мабуть, є категоричним аналізом даних , Алан Агресті. Якщо ніхто не надасть більш детальну відповідь, я спробую перетворити свої коментарі у правильну відповідь.

— chl

Дякуємо за посилання, @chl. Я маю доступ до книги, тому спробую розібратися в цьому сам.

— Ієн Діллінгем

Відповіді:

Стандартна статистична модель, що лежить в основі аналізу таблиць на випадок надзвичайних ситуацій, передбачає, що (безумовне від загального підрахунку) кількість комірок є незалежними випадковими змінними Пуассона. Отже, якщо у вас є $n \times m$ таблиця непередбачуваних ситуацій, статистична модель, яка використовується як основа для аналізу, приймає кожне число комірок для безумовного розподілу:

X_{i, j} ~ Pois (μ_{i, j})

$X_{i,j} \text{ ~ Pois}(\mu_{i,j})$

Після того, як ви накладете загальну кількість комірок для таблиці непередбачених ситуацій або кількість рядків або стовпців, отримані умовні розподіли підрахунків комірок стають мультиноміальними. У будь-якому випадку для розподілу Пуассона маємо $\mathbb{E}(X_{i,j}) = \mathbb{V}(X_{i,j}) = \mu_{i,j}$ , тому стандартизована кількість комірок:

STD (X_{i, j}) \equiv \frac{X_{i, j} - E (X_{i, j})}{\sqrt{V (X_{i, j})}} = \frac{X_{i, j} - μ_{i, j}}{\sqrt{μ_{i, j}}}

$\text{STD}(X_{i,j}) \equiv \frac{X_{i,j} - \mathbb{E}(X_{i,j})}{\sqrt{\mathbb{V}(X_{i,j})}} = \frac{X_{i,j} - \mu_{i,j}}{\sqrt{\mu_{i,j}}}$

Отже, те, що ви бачите у формулі, про яку ви дізнаєтесь, - це стандартизоване число комірок, припускаючи, що кількість клітин має (безумовне) розподіл Пуассона.

Звідси прийнято перевіряти незалежність змінної рядків і стовпців у даних, і в цьому випадку ви можете використовувати тестову статистику, яка дивиться на суму квадратів вищевказаних значень (що еквівалентно нормі квадрата). вектора стандартизованих значень). Тест-ква-квадрат дає р-значення для цього виду тесту на основі наближення великої вибірки до нульового розподілу статистики тесту. Зазвичай він застосовується у випадках, коли жодна з кількості продажу не надто мала.

— Відновіть Моніку
джерело

У контексті корисної форми можна звернутися до цього http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/chigf.htm .

Якщо ви хочете знати, як знаменник потрапив туди, вам доведеться розглядати чі-квадрат тут, як нормальне наближення до двочлена, для початківців, які потім можна поширити на багаточлени.

— RyL
джерело