Коваріація перетворених випадкових величин

У мене є дві випадкові величини і . $X > 0$ $Y > 0$

З огляду на те, що я можу оцінити як я можу оцінити

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— user7064
джерело

Це минуле запитання задавало

— Дуглас Заре

Можна скористатися підходом розширення Тейлора:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Редагувати:

Візьміть , . $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

Використовуйте багатовимірне розширення Тейлора, щоб обчислити наближення до (аналогічно прикладу в кінці "Першої миті" за посиланням, що робить простіший випадок і використовувати одновимірні розширення для обчислення наближень до та (як зазначено в першій частині того ж розділу) з аналогічною точністю. З цих речей обчисліть (приблизну) коваріацію. $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

Розширюючись на аналогічний ступінь наближення, як приклад у посиланні, я думаю, ви закінчуєте терміни в середньому та дисперсії кожної (нетрансформованої) змінної та їх коваріації.

Редагувати 2:

Але ось невелика хитрість, яка може зекономити певні зусилля:

Зауважимо, що і і . $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

Дано нас є

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Редагувати: Цей останній крок випливає з наближення Тейлора , що добре для малого (приймаючи ). $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(це наближення точно для , нормально: ) $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Нехай $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

і задано , потім $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(Редагувати :)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

Отже . Це повинно бути точним для біваріантного гауса. $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

Якщо ви використовували перше наближення, а не друге, ви отримали б інше наближення.

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Чи можете ви детальніше розповісти трохи більше? У будь-якому випадку, thx для пропозиції

— user7064

Відредаговано докладно.

— Glen_b -Встановити Моніку

Дякую @Glend_b. Я прийму, коли деталі будуть додані. Тим часом +1 :-)

— user7064

Не хвилюйтесь; Я в той час був зайнятий, то зовсім забув. Зараз виправлено

— Glen_b -Встановіть Моніку

Зазвичай він працює краще для неауссових змінних, якщо дисперсії і невеликі (рівнозначно, якщо коефіцієнти варіації і малі).

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

— Glen_b -Встановіть Моніку

Без будь-яких додаткових припущень щодо і неможливо вивести коваріацію журналу, знаючи початкову коваріацію. З іншого боку, якщо вам вдалося обчислити з і , що заважає вам обчислити з та безпосередньо? $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— ThePawn
джерело