"Пік" функції перекошеної щільності ймовірності

11

Я хотів би описати "пік" та "важкість" хвоста кількох перекошених функцій щільності ймовірності.

Особливості, які я хочу описати, чи називали б їх "куртозом"? Я бачив лише слово "куртоз", яке використовується для симетричних розподілів?

— користувач1375871
джерело

15

Дійсно, заходи куртозу зазвичай застосовуються до симетричних розподілів. Ви можете обчислити його і для перекошених, але інтерпретація змінюється, оскільки це значення змінюється при введенні асиметрії. Насправді ці два поняття важко розділити. Нещодавно в цій роботі було запропоновано інваріантну міру косотості .

Високий куртоз асоціюється з піком і сильним хвостом (він також характеризується як «відсутність плечей»). Один із томів Кендалл та Стюарт обговорює ці питання досить довго. Але такі тлумачення, як ви зазначаєте, загалом даються в ситуації майже симетрії. У несиметричних випадках стандартизований 4-й момент, як правило, сильно співвідноситься з квадратом стандартизованого третього моменту, тому вони, в основному, вимірюють приблизно однакові речі.

— Glen_b -Встановити Моніку

Дійсно, з огляду на конкретний спосіб, як я це висловив у своєму попередньому коментарі, це стосується навіть симетричних розподілів - площа зразка, стандартизована третім моментом (косоокість у квадраті), сильно корелює із стандартизованим зразком четвертого моменту («куртоз»), навіть скажімо, нормальне.

— Glen_b -Встановити Моніку

3

Оскільки дисперсія визначається як другий момент , а косисть визначається як третій момент а куртоз визначається як четвертий момент , можна описати властивості широкий спектр симетричних та несиметричних розподілів із даних. $\mu_{2}$ $\mu_{3}$ $\mu_{4}$

Ця методика була спочатку описана Карлом Пірсоном у 1895 р. Для так званих розподілів Пірсона I до VII. Це було розширено Egon S Pearson (дата невизначена), як опубліковано у Hahn and Shapiro в 1966 році, до широкого спектру симетричних, асиметричних і важких хвостових розподілів, які включають Уніфіковані, Нормальні, Студент-t, Лонормальні, Експоненціальні, Гамма, Бета, Beta J і Beta U. З діаграми с. 197 Гана і Шапіро, і можна використовувати для встановлення дескрипторів косості та куртозу як: $B_{1}$ $B_{2}$

$\mu_{3} = \sqrt {B_{1}\ \mu_{2}^{3}}$
$\mu_{4} = B_{2}\ \mu_{2}^{2}$

Якщо ви просто хотіли простих відносних дескрипторів, тоді, застосувавши константу нахил дорівнює а куртоз - . $\mu_{2} = 1$ $\sqrt {B_{1}}$ $B_{2}$

Ми спробували тут узагальнити цю діаграму, щоб вона могла бути запрограмована, але краще переглянути її в Хані та Шапіро (с. 42-49,122-132,197). У певному сенсі ми пропонуємо трохи зворотну інженерію діаграми Пірсона, але це може бути способом кількісної оцінки того, що ви шукаєте.

— AsymLabs
джерело

3

Тут головне питання - що таке "пік"? Це кривизна на піку (2-я похідна?) Чи потрібна спочатку стандартизація? (Ви могли б так подумати, але є потік літератури, що починається з Прошана, Енн. Мат. Статист. Том 36, № 6 (1965), 1703-1706, який визначає піковість таким чином, що нормальні з меншою дисперсією більше " пік "). Або це концентрація ймовірності в межах стандартного відхилення середнього значення, як це неявно в Баланді та Макгіллівраї (Американський статистик, 1988, т. 42, 111-119)? Після того, як ви зупинитесь на визначенні, застосовувати його слід тривіально. Але я б запитав: "навіщо тебе хвилювати?" Яку релевантність має "пік", як би це не було визначено?

До речі, куртоз Пірсона вимірює лише хвости, і не вимірює жодне з вищезазначених визначень "піку". Ви можете змінити дані або розподіл у межах стандартного відхилення середнього на стільки, скільки вам потрібно (зберігаючи середнє = 0 і дисперсію = 1 обмеження), але куртоз може змінюватися лише в межах максимального діапазону 0,25 (зазвичай набагато менше). Таким чином, ви можете виключити використання куртозу для вимірювання пікових якостей для будь-якого розподілу, навіть якщо куртоз - це дійсно міра хвостів для будь-якого розподілу, незалежно від того, розподіл симетричний, асиметричний, дискретний, безперервний, дискретний / безперервний суміш або емпіричний. Куртоз вимірює хвости для всіх розподілів, і практично нічого не стосується піку (як би не було визначено).

— Пітер Вестфалл
джерело

1

$\Pr\left(\tilde X \gt 1- \alpha \right)$ $w_1=\frac{\tilde{x_{99}}-\tilde{x_{50}}}{\tilde{x_{75}}-\tilde{x_{50}}}$ $\tilde x$ $w_2=\frac{\tilde{\Phi_{99}}-\tilde{\Phi_{50}}}{\tilde{\Phi_{75}}-\tilde{\Phi_{50}}}$ $\tau=\frac{w_1}{w_2}$

— Джорджіо Шпедікато
джерело

0

Я не впевнений, що я розумію ваше пік і важкість. Куртоз означає "Надлишок" німецькою мовою, тому він описує "голову" чи "вершину" розподілу, описуючи, чи є вона дуже широкою чи дуже вузькою. У Вікіпедії зазначається, що "пік" насправді описується "куртозом", тоді як пік не здається справжнім словом, і вам слід використовувати термін "Куртоз".

Тож я думаю, що ти, можливо, все поправив, голова - це Куртоз, "важкість" хвоста може бути косоокістю ":

Ось як ви його знайдете:

a_{3} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{3}}{N * s_{x}^{3}}

$a_3 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^3}{N * s^3_x}$

з s як стандартне відхилення для x.

Значення вказують на:

Негативний :

a_{3} < 0

$a_3 < 0$

Позитивний :

a_{3} > 0

$a_3 > 0$

Ні Skew

a_{3} = 0

$a_3 = 0$

Значення для можна отримати за допомогою:

a_{4} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{4}}{N * s_{x}^{4}}

$a_4 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^4}{N * s^4_x}$

Значення вказують на:

Платикуртика:

a_{4} < 3

$a_4 < 3$

Лептокутік:

a_{4} > 3

$a_4 > 3$

Нормальний:

a_{4} = 3.0

$a_4 = 3.0$

Це допомогло?

— Йоганнес Хофмейстер
джерело

3

Я боюся, що ця відповідь у її нинішній формі може бути менш корисною через помилки в ній. Косоокість - це стандартний показник асиметрії . Це не тісно пов'язане з важкістю хвостів: можливо, що хвости будуть надзвичайно важкими, а косостість дорівнює нулю (що стосується, наприклад, будь-якого симетричного розподілу). Також зверніть увагу, що може бути негативним, тому друга половина цієї відповіді мало сенсу. (Можливо, ви плутали куртоз із зайвим куртозом ?)

a_{4}

$a_4$

— блукання

1

Дякую за уточнення. У формулах дійсно можуть бути деякі помилки, я просто скопіював їх із скриптів, які вони надають в uni. Я наглядав за тим, що a4 не може бути негативним.

— Йоганнес Хофмейстер

1

Я подивився, чому моя відповідь неправильна - це поступальна помилка, я вибачаюся за це. Мої слайди всі німецькою мовою, змішуючи куртоз та ексцес .

— Йоганнес Хофмейстер

@Peter Як Пітер Вестфалл продовжує вказувати, ваш коментар є невірним: "пік" (будь-якого режиму), розглядається невиразно як точність або висота, абсолютно не має нічого спільного з хвостами будь-якого розповсюдження, і він не вимірюється будь-яким кінцевим поєднання моментів (наприклад, куртоз). Може статися, що це пов’язано із важкістю хвостів для сімейства розподілів, але це зовсім інша справа.

— whuber

-1

Куртоз, безумовно, пов'язаний з піком кривої. Відтепер я вважаю, що ви дійсно шукаєте куртоз, який існує, незалежно від того, розподіл симетричний чи ні. (user10525) напевно сказав це правильно! Я сподіваюся, що ваша проблема вирішена на даний момент. Чи ділитесь її результатом, всі думки вітаються.

— Вані
джерело

1

Я не впевнений, як це є корисною відповіддю поза тим, що вже було написано тут. Як щодо розширення куртозу та піку кривої?

— Момо

Хотіли дати чітке роз'яснення запиту. Дискусія, здавалося, бентежить @Momo

— Vani