Пошук розподілу статистики

Навчання для тесту. Не вдалося відповісти на це.

Дозволяє $X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$ бути iid $\mathcal{N}(0,1)$ випадкові змінні. Визначте

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

і $\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$ ,

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Що таке розподіл $\overline{W}_n$ , $S_n^2$ ?

Як отримати уявлення про найкращий метод, який слід використовувати при запуску подібної проблеми?

normal-distribution data-transformation

— Тейлор
джерело

Ви хочете, щоб розподіл було фіксованим

n

$n$ чи асимптотичний розподіл? Вас цікавлять граничні розподіли

{\bar{W}}_{n}

$\overline W_n$ і

S_{n}^{2}

$S_n^2$ чи їх спільний розподіл?

— кардинал

Вибачте за неоднозначність. Тримайте

n

$n$ виправлено, і мене цікавлять лише їхні маргінали. Пізніше вони запитують, чи не є дві статистичні дані незалежними, тому я передчуваю деяке використання теореми Басу.

— Тейлор

Це хитрість.

Умовно на $X_{3,i} = x$ ми це маємо $W_i$ дорівнює

\frac{Х_{1, i} + Х_{2, i} х}{\sqrt{1 + х^{2}}} \sim N (0, 1) .

$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$ Це випливає з того, що для фіксованих

x

$x$ це просте лінійне перетворення двох незалежних

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,1)$ -розподілені змінні

X_{1, i}

$X_{1,i}$ і

X_{2, i}

$X_{2,i}$ . Звідси,

W_{i} ∣ X_{3, i} = x

$W_i \mid X_{3,i} = x$ має нормальний розподіл. Умовне середнє значення вважається рівним 0, а умовна дисперсія - (за припущеннями незалежності)

V (W_{i} ∣ Х_{3, i} = х) = \frac{V (Х_{1, i}) + V (Х_{2, i}) х^{2}}{1 + х^{2}} = \frac{1 + х^{2}}{1 + х^{2}} = 1.

$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$

Оскільки умовний розподіл $W_i \mid X_{3,i} = x$ не залежить від $x$ ми робимо висновок, що це і його граничний розподіл, тобто $W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

Решта випливає із стандартних результатів щодо середніх та залишків незалежних нормальних випадкових величин. Теорема Басу ні для чого не потрібна.

— NRH
джерело

дуже вражає!

— Cam.Davidson.Pilon

Добре помічений (+1). Однак для спільного розподілу о

({\bar{W}}_{n}, S_{n}^{2})

$(\overline{W}_n,S_n^2)$ , Теорема Басу має надзвичайно важливе значення.

— mbe