Середній байосійський ватин до

Я хотів задати питання, натхнене відмінною відповіддю на запит про інтуїцію бета-розподілу. Я хотів краще зрозуміти деривацію для попереднього розподілу середнього середнього. Схоже, Девід резервує параметри від середнього та діапазону.

За припущенням, що середнє значення а стандартне відхилення , чи можете ви відмовитись від і , розв’язавши ці два рівняння: $0.27$ $0.18$ $\alpha$ $\beta$

\frac{α}{α + β} = 0.27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0.18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior

— Мастеров Дмитро Васильович
джерело

Чесно кажучи, я просто зберігав графічні значення в R, поки це не виглядало правильно.

— Девід Робінсон

звідки у вас стандартне відхилення .18?

— appleLover

Як ви придумали це стандартне відхилення? Ви це знали заздалегідь?

— Марія Лавровська

Відповіді:

Зауважте, що:

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

Це означає, що дисперсія може бути виражена в середньому як

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

Якщо вам потрібно середнє значення та стандартне відхилення (дисперсія ), просто обчисліть: $.27$ $.18$ $.0324$

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{.0324} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

Тепер, коли ви знаєте загальну суму, та легко: $\alpha$ $\beta$

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Ви можете перевірити цю відповідь на R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

— Девід Робінсон
джерело

Девіде, чи трапляєшся ти за будь-якими дослідженнями бейсболу? Існує кілька конкуруючих методів для пошуку правильних та

α

$\alpha$

β

$\beta$ , тому мені було цікаво, чи ви мали якусь думку з цього питання, чи робили ви щось, окрім того, що просто намагалися знайти графік, який виглядав розумним.

— Майкл МакГоуан

Я не особливо дотримуюсь саберметрії - в іншій відповіді це просто сталося, щоб надати дуже зручний приклад оцінки р з двочлена з попереднім. Я навіть не знаю, чи так це робиться в саберметрії, і якщо це так, я знаю, що багато компонентів я випустив (гравці, які мають різні пріори, коригування стадіону, зважування останніх хітів над старими ...)

— Девід Робінсон

Мені вражено, що ваше очне яблуко було таким точним.

— Мастеров Дмитро Васильович

Привіт, Девіде, як ви отримуєте від цих значень

та

до ваших очних значень у зв’язаному посту 81 та 219 відповідно?

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

β = 3.71

$\beta = 3.71$

— Олексій

@Alex Запрошена дисперсія та стандартне відхилення випливають із вищезазначеного питання, в якому було запропоновано SD .18, а не повідомлення про розповсюдження бета-версії. Якби я обчислював замість очного яблука, я, можливо, здогадався б про щось подібне до .03, яке дало б значення 59 та 160.

— Девід Робінсон,

Я хотів додати це як коментар до відмінної відповіді, але він тривав довго і буде виглядати краще з форматуванням відповідей.

Що слід пам’ятати, це те, що не всі можливі. Зрозуміло, що , але не такі чіткі обмеження для . $(\mu, \sigma^2)$ $\mu \in [0,1]$ $\sigma^2$

Використовуючи ті ж міркування, що і Девід, ми можемо висловити

σ^{2} (α, μ) = \frac{μ^{2} (1 - μ)}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

Це зменшується по відношенню до , тому найбільший може бути для даного : $\alpha$ $\sigma^2$ $\mu$

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

$\alpha$ $\alpha > 0$ $\mu = \frac12$

$\mu$ $\alpha$ $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$

Тут узятий набір дійсних засобів та варіацій для бета-версії:

(Дійсно, це зазначено на бета-сторінці на Вікіпедії )

— МайклЧіріко
джерело