Як знайти граничний розподіл від спільного розподілу з багатозмінною залежністю?

Одна з проблем у моєму підручнику полягає в наступному. Двовимірний стохастичний безперервний вектор має таку функцію щільності:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Покажіть, що функції граничної щільності і є: $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Я розумію, як обчислюється функція щільності , інтегруючи від до по відношенню до . Однак я повністю втрачений на , звідки походить ? Якщо я інтегрую від до по відношенню до то я отримую лише , а чому діапазон ? $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

Я зрозумів підтримку , усі значення, де , пофарбовані в синій колір: $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

Підтримка $ X, Y $

— soren.qvist
джерело

Це може допомогти вам намалювати зображення підтримки (це сукупність для яких ). Це повинно негайно відповісти на деякі ваші запитання.

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

— whuber

@whuber Добре, тому я зрозумів підтримку, і я думаю, що я розумію, чому це 0 <y <1, це тому, що x визначено лише в 0 <x <1, а оскільки 0 <y <x, то, природно, у нас є лише y визначено від 0 до 1, правильно? Але я все ще не розумію (1-y ^ 2) частини.

— soren.qvist

Підказка: Гранична щільність являє собою інтеграл від , які при фіксованому значенні , , відмінно від нуля тільки для тих , що задовольняють . Тобто і саме там частина походить від.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

— Діліп Сарват

Дякую за підказку Діліп, я боюся, що я не розумію його повністю. ".. для фіксованого значення , , є ненульовим лише для тих задовольняють ." Ви маєте на увазі синю зону на графіку?

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

— soren.qvist

@ soren.qvist Так. Я маю на увазі синю зону на графіку. є інтегралом (площа під кривою) з функції від , яка має значення , якщо знаходиться в межах від і (синя область) і в іншому випадку. Повторіть для інших фіксованих значень та зауважте, що кожен раз, коли числове значення виявляється таким самим числом, яке отримано, "включивши" вибране значення у вираз

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ як зазначено у вашому листі відповідей. Потім виходить "Ей, ма, я думаю, я бачу шаблон!" моменту, і ви розумієте, що дорівнює показаному інтегралу.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

— Діліп Сарват

Як ви правильно вказали у своєму запитанні, обчислюється шляхом інтеграції щільності суглоба, відносно X. Критична частина тут визначає площу, на якій ви інтегрувати. Ви вже чітко показали графічно підтримку функції спільного розподілу . Отже, тепер ви можете зазначити, що діапазон у затіненій області становить від до (тобто графічно ви можете візуалізувати горизонтальні лінії, паралельні осі x, що йдуть від діагональної лінії до вертикальної лінії при ). $f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

Таким чином, нижня і верхня межі інтеграції будуть і . Таким чином, рішення задачі полягає в наступному: $X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— user3487564
джерело