Концептуальна відмінність між гетеросцедастичністю та нестаціонарністю

У мене виникають труднощі розрізняти поняття сценічності та стаціонарності. Як я їх розумію, гетероскедастичність - це різні мінливості в підгрупах, а нестаціонарність - це зміна середнього / відхилення в часі.

Якщо це правильне (хоч і спрощене) розуміння, чи нестаціонарність є просто конкретним випадком гетероскедастичності протягом часу?

Щоб дати точні визначення, нехай $X_1, \ldots, X_n$ бути реальними цінними випадковими змінними.

Стаціонарність зазвичай визначається лише в тому випадку, якщо ми вважаємо індекс змінних як час . У цьому випадку послідовність випадкових змінних є нерухомою$X_1, \ldots, X_{n-1}$ має таке ж розподіл, як і $X_2, \ldots, X_n$. Це означає, зокрема, що$X_i$ для $i = 1, \ldots, n$ всі мають однаковий граничний розподіл і, таким чином, однакову граничну середню і дисперсію (враховуючи, що вони мають кінцевий другий момент).

Значення гетероседастичності може залежати від контексту. Якщо граничні відхилення то$X_i$змінити с $i$(навіть якщо середнє значення є постійним) випадкові величини називаються гетероскедастичними в сенсі не бути гомоскедастичними.

При регресійному аналізі ми зазвичай розглядаємо дисперсію реакції умовно на регресорах, і визначаємо гетероседастичність як непостійну умовну дисперсію.

У аналізі часових рядів, де загальна термінологічна умовна гетероседастичність є загальною, інтерес, як правило, полягає у дисперсії$X_k$ умовно $X_{k-1}, \ldots, X_1$. Якщо ця умовна дисперсія є непостійною, ми маємо умовну гетероседастичність. Модель ARCH (авторегресивна умовна гетероседастичність) є найвідомішим прикладом стаціонарної моделі часових рядів з непостійною умовною дисперсією.

Гетероседастичність (зокрема умовна гетероцедастичність) не передбачає взагалі нестаціонарності.

Стаціонарність важлива з кількох причин. Одним простим статистичним наслідком є ​​те, що середня

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(X_i)$$ тоді є неупередженим оцінником очікування $E f(X_1)$(і припускаючи , що ергодичність , яка трохи більше, ніж стаціонарність і часто припускається неявно, середня - це послідовний оцінювач очікування для$n \to \infty$).

Важливість гетероскедастичності (або гомоскедастичності) з статистичної точки зору пов'язана з оцінкою статистичної невизначеності, наприклад, з обчисленням довірчих інтервалів. Якщо обчислення проводяться за припущенням гомоскедастичності, тоді як дані фактично показують гетероседастичність, отримані довірчі інтервали можуть вводити в оману.

Часовий ряд є нерухомим, якщо всі його статистичні властивості не залежать від часу виникнення. Якщо ця вимога не виконується, часовий ряд не є стаціонарним.

Навіть стаціонарний часовий ряд не може бути описаний на основі лише одного зразка запису. Її статистичні властивості повинні бути проаналізовані шляхом усереднення по ансамблю зразків записів різного часу.

Якщо статистичні властивості однакові для будь-якого окремого запису вибірки та для випадку, коли вони визначаються шляхом усереднення ансамблю, часовий ряд є ергодичним.

Оскільки статистичні властивості гетероскедактичного часового ряду залежать від часу, він не є стаціонарним і, звичайно, не ергодичним. Його властивості, визначені для однієї вибіркової записи, не можна поширювати на її минулу та майбутню поведінку.

Між іншим, кореляційний / регресійний аналіз не може бути застосований до часових рядів, оскільки залежність між ними (функція когерентності) залежить від частоти і може бути охарактеризована через (багатоваріантні) рівняння стохастичних різниць рівнянь (часова область) або функцію (-ів) частоти відгуку (частотна область).

Розширення регресійного аналізу, розробленого для випадкових змінних, до часових рядів є помилковим (наприклад, див. Bendat and Piersol, 2010; Box et al., 2015).

Є 3 ступеня нерухомості. Слабка форма вимагає середнього рівня, а дисперсія постійно підтримується. Це означає, що з 3 стаціонарних визначень вищі вимоги, ніж гетероседастичність, тому що гетероседастичність означає постійну дисперсію, без посилання на середню.

Процес може мати гетероскедастичність. Але якщо його середнє значення не є постійним, то процес не є (слабким) стаціонарним.

Стаціонарний процес (позначимо його через "S") передбачає гомоскедастичність (позначимо його "H"). Отже S -> H.

Природно, її протиставлення також вірно . Отже H '-> S', тобто не гомоскедастичність передбачає нестаціонарність.

Але інверсія та заперечення не відповідають дійсності . Іншими словами:

"Нестаціонарна означає, що не гомоскедастичність" не відповідає дійсності.

"Існує стаціонарний процес, який не є гомоскедастичністю", це неправда.