Різниця випадкових змінних Гамма

З огляду на дві незалежні випадкові величини та , який розподіл різниці, тобто ? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

Якщо результат недостатньо відомий, як би я взявся до отримання результату?

distributions gamma-distribution

— ФБК
джерело

Я думаю, що може бути доречно: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Мастеров Димитрій Вікторович

На жаль, не має значення, цей пост вважає зважену суму випадкових величин Gamma, де ваги суворо позитивні. У моєму випадку ваги будуть +1 та -1 відповідно.

— FBC

У статті Москопулоса стверджується, що метод можна поширити на лінійні комбінації, але ви праві, що масштаб здається обмеженим на ваги більше 0.

— Мастеров Димитрій Васильович

Мало сподіваємось вивести щось просте або в закритому вигляді, якщо два коефіцієнти масштабу не однакові.

— whuber

Лише невелике зауваження: для особливого випадку експоненціально розподілених rv з тим самим параметром результат - Laplace ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Рік

Відповіді:

Я окреслю, як можна вирішити проблему, і зазначу, що, на мою думку, кінцевим результатом буде для окремого випадку, коли параметри форми є цілими числами, але не заповнюють деталі.

Спочатку зауважимо, що приймає значення у і тому має підтримку . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
По-друге, із стандартних результатів, що щільність суми двох незалежних безперервних випадкових величин - це згортання їх густин, тобто і що щільність випадкової величини дорівнює , виведемо, що
$f_{Х + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{Х} (х) f_{Y} (z - х) г х$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{Х - Y} (z) = f_{Х + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{Х} (х) f_{- Y} (z - х) г х = \int_{- \infty}^{\infty} f_{Х} (х) f_{Y} (х - z) г х .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
По-третє, для невід’ємних випадкових величин і зауважимо, що вищевказаний вираз спрощується до $X$ $Y$
$f_{Х - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{Х} (х) f_{Y} (х - z) г х, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{Х} (у + z) f_{Y} (у) г у, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
Нарешті, використовуючи параметризацію для позначення випадкової величини з щільністю $\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{Х - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (у + z))^{с - 1}}{Γ (с)} досвід (- λ (у + z)) мк \frac{(мк у)^{т - 1}}{Γ (т)} досвід (- мк у) г у \\ (1) & = досвід (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (у, z) досвід (- (λ + мк) у) г у . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{Х - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ х)^{с - 1}}{Γ (с)} досвід (- λ х) мк \frac{(мк (х - z))^{т - 1}}{Γ (т)} досвід (- мк (х - z)) г х \\ (2) & = досвід (мк z) \int_{0}^{\infty} q (х, z) досвід (- (λ + мк) х) г х . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} х^{с - 1} (х + β)^{с - 1} досвід (- ν х) г х

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Діліп Сарват
джерело

+1: Розглянувши цю проблему раніше, я вважаю цю відповідь захоплюючою.

— Ніл Г

Я прийму цю відповідь, навіть якщо не існує рішення закритої форми. Близько, наскільки це стає, дякую!

— FBC

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

@mpacer Якщо

- додатна випадкова величина з щільністю

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

Наскільки мені відомо, розподіл різниці двох незалежних гамма-RV було вперше вивчено Матхеєм в 1993 році. Він отримав рішення закритої форми. Я тут не відтворюватиму його роботи. Натомість я вкажу на першоджерело. Розв’язок закритої форми можна знайти на сторінці 241 як теорему 2.1 у своїй роботі Про не центральну узагальнену лаплаціанність квадратичних форм у нормальних змінних .

— Натан Крок
джерело