Чи завжди ступінь свободи для тесту Вельча менша, ніж коефіцієнт DF для об'єднаного тесту?

Я викладаю курс з основ статистики, і ми робимо t-тест для двох незалежних зразків з неоднаковими відхиленнями (тест Вельча). У наведених прикладах скоригована ступінь свободи, використовувана тестом Велча, завжди менша або дорівнює . $n_1+n_2-2$

Це завжди так? Чи завжди тест Велча знижує (або залишає без змін) ступінь свободи об'єднаного (рівних дисперсій) t-тесту?

І з тієї ж теми, якщо стандартні відхилення вибірки рівні, чи зменшується показник коефіцієнта коефіцієнта тесту Велча до ? Я переглянув формулу, але алгебра заплуталася.$n_1+n_2-2$

Так.

У тесті Велча використовується настройка Саттертайта-Уелча для ступенів свободи: Як бачите, це досить некрасиво (і насправді апроксимується чисельно), але це вимагає, щоб . Ось довідка: Хоуелл (2002, стор. 214) стверджує, що " обмежений меншими від та на одній крайності та в іншому".

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

Ось "офіційні" посилання (зауважте, що вищевказане коригування - те, яке зазвичай використовується - виведене у другій статті):

• Welch, BL (1938). "Значення різниці між двома засобами, коли відхилення чисельності населення неоднакові". Біометріка, 29, 3/4 , с. 350–62 .
• Satterthwaite, FE (1946). "Приблизний розподіл оцінок варіативних компонентів". Біометричний вісник, 2, 6 , с. 110–114 .
• Welch, BL (1947). "Узагальнення проблеми" Студент ", коли задіяно кілька різних варіацій чисельності населення". Біометріка, 34, 1/2 , с. 28–35 .

(Гуглінг може отримати необроблені версії цих даних.)