Якби тенісний матч був одним великим набором, скільки ігор дало б однакову точність?

У тенісу є своєрідна система трьох балів, і мені цікаво, чи має це якась статистична користь з точки зору матчу як експерименту для визначення кращого гравця.

Для незнайомих людей у звичайних правилах гра виграється від першого до 4 очок, якщо у вас є 2-очковий привід (тобто якщо це 4-2, ви виграєте, але 4-3 вам потрібно ще 1 очко, і продовжуйте поки один гравець попереду на 2).

Потім набір - це сукупність ігор, і набір виграється першим на 6, знову ж вигравши 2, за винятком цього разу замість того, щоб продовжувати грати (крім фінального набору Уімблдона тощо), грається спеціальна гра з вимикачем. ..)

Матч виграється спочатку на 2 або 3 сети залежно від змагань.

Зараз теніс також дивно, що ігри несправедливі. Для будь-якого моменту сервер має величезну перевагу, тому кожна гра на сервері чергується.

У грі-таймері подача чергується після кожного очка, і це перший на 7 очок, знову з перевагою на 2 очки.

Припустимо, що гравець A має ймовірність виграти очко за подачу $p_s$ та при отриманні . $p_r$

Питання в цьому, припустимо, ми

A) щойно грав у теніс як великий матч "кращих з N ігор", скільки ігор дало б таку ж точність, як звичайний найкращий з 5 тенісних комплектів

Б) щойно грав у теніс як велика гра у винищувач, скільки очок дало б ту саму точність, що і звичайний найкращий з 5 тенісних комплектів?

Очевидно, ці відповіді залежатимуть від самих та , тому також було б добре знати $p_s$ $p_r$

C) Яка очікувана кількість ігор та очок, що граються у звичайному тенісі, якщо вважати постійними , $p_s$ $p_r$

Визначення "Точності"

Якщо припустити, що майстерність обох гравців залишається незмінною, то якби вони грали нескінченний проміжок часу, то той чи інший гравець виграв би майже впевнено, незалежно від формату гри. Цей гравець є "правильним" переможцем. Я майже впевнений, що правильним переможцем є гравець, для якого . $p_r+p_s > 1$

Кращий формат гри - це той, який виробляє правильного переможця частіше, за однакову кількість зіграних очок, або, навпаки, виробляє правильного переможця з однаковою ймовірністю в декількох зіграних очках.

probability inference games

— Корон
джерело

Тільки у 5-му сеті немає тайм-брейка у Вімблдоні, Australian Open та French Open. Перші 4 сети граються з тай-брейками.

— mpiktas

Що саме ви маєте на увазі під "точністю"? Ви маєте на увазі щось на кшталт "як часто виграє кращий гравець?" У будь-якому випадку вам потрібно чотири параметри, а не два; вам потрібно

для кожного гравця, хоча

і навпаки. Якщо якийсь гравець клубу грає гравця світового класу, то, можливо,

. Я думаю, що найпростішим способом розібратися це було б за допомогою комп'ютерно-інтенсивного методу. Можна було б це зрозуміти аналітично, але обчислення стали б інтенсивними.

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

p 1_{s} = 1 - p 2_{r}

$p1_s = 1 - p2_r$

p 1_{s} = .01

$p1_s = .01$

p 1_{r} = .001

$p1_r = .001$

— Пітер Флом - Відновити Моніку

Я думав, що зв’язок між

та майстерністю гравця може залишитися поза ним, оскільки ми просто хочемо порівняння між методами вимірювань. Тобто для будь-якої відповідності, якщо

тоді гравець 1 повинен виграти (тобто їх середня здатність до виграшу очок перевищує 50%). Кращий турнір досягає цього частіше.

p_{s / r}

$p_{s/r}$

p_{s} + p_{r} > 1

$p_s + p_r > 1$

— Корон

Під "однаковою точністю" ви маєте на увазі, що загальна ймовірність перемоги даного гравця однакова в будь-якому форматі (для фіксованих

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

— Майкл МакГоуан

Якщо ви граєте в ігри на очки, де вам потрібно виграти на , ви можете припустити, що гравці грають 6 очок. Якщо жоден гравець не виграє , то рахунок зрівняється , а потім ви граєте пари очок, поки один гравець не виграє обох. Це означає, що шанс виграти гру до очок, коли ваш шанс виграти кожну очку є , є $4$ $2$ $2$ $3-3$ $4$ $p$

p^{6} + 6 p^{5} (1 - p) + 15 p^{4} (1 - p)^{2} + 20 p^{3} (1 - p)^{3} \frac{p^{2}}{p^{2} + (1 - p)^{2}}

$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$

У грі чоловіків вищого рівня може бути приблизно для сервера. (Було б якби чоловіки не відмовилися від другої подачі.) Відповідно до цієї формули, шанс утримувати подачу приблизно . $p$ $0.65$ $0.66$ $82.96\%$

Припустимо, ви граєте в тай-брейку до очок. Можна припустити, що очки розігруються в парах, де кожен гравець обслуговує по одній з кожної пари. Хто виступає першим, значення не має. Можна припустити, що гравці грають очок. Якщо вони зв'язані в цій точці, вони грають у пару, поки один гравець не виграє обох пар, а це означає, що умовний шанс на перемогу - . Якщо я правильно порахую, шанс виграти тайбрек до $7$ $12$ $p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$ $7$ бали є

6 p_{r}^{6} p s + 90 p_{r}^{5} p_{s}^{2} - 105 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 300 p_{r}^{4} p_{s}^{3} - 840 p_{r}^{5} p_{s}^{3} + 560 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 300 p_{r}^{3} p_{s}^{4} - 1575 p_{r}^{4} p_{s}^{4} + 2520 p_{r}^{5} p_{s}^{4} - 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 90 p_{r}^{2} p_{s}^{5} - 840 p_{r}^{3} p_{s}^{5} + 2520 p_{r}^{4} p_{s}^{5} - 3024 p_{r}^{5} p_{s}^{5} + 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + 6 p_{r} p_{s}^{6} - 105 p_{r}^{2} p_{s}^{6} + 560 p_{r}^{3} p_{s}^{6} - 1260 p_{r}^{4} p_{s}^{6} + 1260 p_{r}^{5} p_{s}^{6} - 462 p_{r}^{6} p_{s}^{6} + \frac{p_{r} p_{s}}{p_{r} p_{s} + (1 - p_{r}) (1 - p_{s})} (p_{r}^{6} + 36 p_{r}^{5} p_{s} - 42 p_{r}^{6} p_{s} + 225 p_{r}^{4} p_{s}^{2} - 630 p_{r}^{5} p_{s}^{2} + 420 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 400 p_{r}^{3} p_{s}^{3} - 2100 p_{r}^{4} p_{s}^{3} + 3360 p_{r}^{5} p_{s}^{3} - 1680 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 225 p_{r}^{2} p_{s}^{4} - 2100 p_{r}^{3} p_{s}^{4} + 6300 p_{r}^{4} p_{s}^{4} - 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{4} + 3150 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 36 p_{r} p_{s}^{5} - 630 p_{r}^{2} p_{s}^{5} + 3360 p_{r}^{3} p_{s}^{5} - 7560 p_{r}^{4} p_{s}^{5} + 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{5} - 2772 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + p_{s}^{6} - 42 p_{r} p_{s}^{6} + 420 p_{r}^{2} p_{s}^{6} - 1680 p_{r}^{3} p_{s}^{6} + 3150 p_{r}^{4} p_{s}^{6} - 2772 p_{r}^{5} p_{s}^{6} + 924 p_{r}^{6} p_{s}^{6})

$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$

Якщо то шанс виграти тай-брейк становить приблизно . $p_s=0.65, p_r=0.36$ $51.67\%$

Далі розглянемо набір. Неважливо, хто виступає першим, що зручно, оскільки в іншому випадку нам доведеться розглянути можливість виграти сет, а подальший сервіс виграє набір без збереження подачі. Щоб виграти набір на ігор, ви можете уявити, що першими граються ігор. Якщо рахунок зрівняється то грайте ще гри. Якщо вони не визначають переможця, тоді грайте тай-брейк, або в п’ятому сеті просто повторіть ігри пар. Нехай - ймовірність утримання, яка служить, і нехай $6$ $10$ $5-5$ $2$ $p_h$ $p_b$ бути ймовірністю зламати подачу опонента, яка може бути обчислена вище від ймовірності виграти гру. Шанс виграти сет без тай-брейка дотримується тієї ж основної формули, що і шанс виграти тай-брейк, за винятком того, що ми граємо в ігор замість очок, і замінюємо на і на . $6$ $7$ $p_s$ $p_h$ $p_r$ $p_b$

Умовний шанс виграти п’ятий сет (сет без відключення ) з і - . $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.59\%$

Шанс виграти набір за допомогою тай-брейка з і становить . $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.30\%$

Шанс виграти кращий матч з сетів без відключення тайму в п’ятому сеті, з і - . $5$ $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $56.28\%$

Отже, для цих показників виграшів, скільки ігор повинно бути в одному наборі, щоб вона мала однакову дискримінаційну силу? З , ви виграєте набір до ігор із звичайним , і ви виграєте набір до гри з можливим вимикачем часу. Без відключення тайму, шанс виграти нормальний матч є між наборами довжиною і . Якщо ви просто граєте на одному великому тай-брейку, шанс виграти тай-брейк довжиною становить $p_s=0.65, p_r=0.36$ $24$ $56.22\%$ $25$ $56.34\%$ $23$ $24$ $113$ $56.27\%$ а довжина - . $114$ $56.29\%$

Це говорить про те, що грати в один гігантський набір не є ефективнішим, ніж найкращий з 5 матчів, але грати в один гігантський тай-брейк було б ефективніше, принаймні для тісно підібраних конкурентів, які мають перевагу.

Ось уривок з моєї колонки GammonVillage в березні 2013 року "Гра, встановлення та відповідність". Я розглядав монети, які мають фіксовану перевагу ( ), і запитав, чи ефективніше грати один великий матч або серію коротших матчів: $51\%$

... Якщо кращий із трьох є менш ефективним, ніж один довготривалий матч, ми можемо очікувати, що кращий із п'яти буде гіршим. Ви виграєте найкращі п’ять матчів на очок з вірогідністю , що дуже близьке до шансів виграти один матч до . Середня кількість матчів у найкращій п'ятірці - , тому середня кількість ігор - . Звичайно, це більше, ніж максимальна кількість ігор, можливих за матч до , а середнє значення - . Схоже, довша серія матчів ще менш ефективна. $13$ $57.51\%$ $45$ $4.115$ $4.115 \times 21.96 = 90.37$ $45$ $82.35$

Як щодо іншого рівня, найкращого з трьох серій найкращих з трьох матчів до ? Оскільки кожна серія була б схожою на матч , ця серія була б найкращою з трьох матчів до , лише менш ефективною, а один довгий матч був би кращим за це. Отже, один довгий матч був би більш ефективним, ніж серія серій. $13$ $29$ $29$

Що робить серію матчів менш ефективною, ніж один довгий матч? Розгляньте їх як статистичні тести для збору доказів, щоб вирішити, який гравець сильніший. У кращому з трьох матчів ви можете програти серію з результатами . Це означає, що ви виграли б ігор до х опонентів , але ваш противник виграв би серію. Якщо ви кинете монету і отримаєте голів і $13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$ $36$ $33$ $36$ $33$ хвости, у вас є докази того, що голова швидше, ніж хвости, не те, що хвости швидше, ніж голови. Отже, найкращий з трьох матчів неефективний, оскільки він марнує інформацію. Серія матчів в середньому вимагає більше даних, оскільки вона іноді приносить перемогу гравцеві, який виграв менше ігор.

— Дуглас Заре
джерело

Абсолютно неймовірно! Чи є знак для найбільшого коли-небудь латексного виразу? Я не розумію висновку, хоча - напевно на 25 ігор менше, ніж зазвичай? Якщо ви до п’ятого сету, то ви граєте щонайменше 30 ігор, і навіть 6: 4 6: 4 6: 4 перемога - це 30 ігор?

— Корон

25

$25$

25 - 20

$25-20$

45

$45$

Ах так, вибачте, має сенс. Чудова відповідь.

— Корон

L A T E X

$\LaTeX$

У цій статті є деякий аналіз вимикачів, і чи вони надають перевагу більш сильним серверам: heavytopspin.com/2012/10/30/the-structural-biases-of-tiebreaks

— Douglas Zare