Інтуїтивне розуміння коваріації, перехресної коваріації, авто- / перехресної кореляції та щільності спектру потужності

В даний час я навчаюсь для мого фіналу базової статистики для свого бакалавра ЄЕК.

Хоча я думаю, що в мене математика здебільшого знижена, мені не вистачає інтуїтивного розуміння того, що насправді означають цифри. (Преамбула: Я буду використовувати досить неохайну мову).

Я знаю, що E [X] є "середньозваженим" для всіх результатів X, зважених за їх вірогідністю.

Var [X] дає дає очікуване відхилення від квадрата E [X], тому нам щось говорить про "розмитість" розподілу.

Інші властивості я знаю формулами, але не має інтуїції. Хтось має хороші пояснення / ресурси, щоб допомогти у цьому?

$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$

$\sigma_x \cdot \sigma_y$

$t$$(t-1)$$(t-2)$та ін. Високі автокореляції можуть вказувати на те, що ряд змінюється повільно, або, що рівнозначно, що теперішнє значення передбачуване з попередніх значень. Хоча дисперсія та коваріація є скалярними (тобто одиничними значеннями), автокореляція є векторною - ви отримуєте значення автокореляції для кожного "відставання" або "проміжку". Білий шум має дуже плоску функцію автокореляції, оскільки він випадковий; природні зображення зазвичай мають широкі просторові автокореляції, оскільки пікселі поблизу часто мають подібний колір та яскравість. Відлуння може мати пік біля центру (оскільки звуки подібні до себе), плоску область під час тиші, а потім ще один пік, який становить сам ехо.

$X$$Y$$X$$X$$Y$$X$$Y$

Функції автоматичної коваріації та перехресної коваріації є подібними до їх еквівалентів кореляції, але без шкали; це та ж різниця, як між коваріацією та кореляцією.

Потужності спектральна щільність говорить вам , як потужність сигналу розподіляється на різні частоти. PSD чистого тону (тобто синусоїда) плоский, за винятком частоти тону; Натуралістичні сигнали та звуки мають набагато складніші PSD з гармоніками, обертонами, резонансом тощо. Це пов'язано з іншими поняттями, оскільки перетворення Фур'є функцією автокореляції є PSD.