Що означає "випадкова величина"?

69

Що вони означають, коли кажуть "випадкова величина"?

35

Випадкова величина - це змінна, значення якої залежить від невідомих подій. Ми можемо узагальнити невідомі події як "стан", і тоді випадкова величина є функцією стану.

Приклад:

Припустимо, у нас є три рулони з кістки ( , , ). Тоді стан . $D_{1}$ $D_{2}$ $D_{3}$ $S=(D_{1},D_{2},D_{3})$

Одна випадкова величина - це число 5s. Це: $X$

X = (D_{1} = 5 ?) + (D_{2} = 5 ?) + (D_{3} = 5 ?)

$X=(D_{1}=5?)+(D_{2}=5?)+(D_{3}=5?)$

Ще одна випадкова величина - сума рулонів кісток. Це: $Y$

Y = D_{1} + D_{2} + D_{3}

$Y=D_{1}+D_{2}+D_{3}$

— Пол
джерело

Дякую за чітку та стислу відповідь. Це викликає питання про мету відокремити невідомий стан від результату (я думаю, саме так називають область і діапазон "випадкової величини" в теорії ймовірностей). Здається, називається невідомий стан a sample, який я попросив відрізнити від результатів . Чому вам потрібно ввести функцію і назвати її випадковою змінною, хоча вона абсолютно детермінована і зовсім не змінна? Чому ви не можете одразу взяти вибірку результату?

— Val

2

Коли "події" стають "відомими", що відбувається з випадковою змінною? Відповідно до цієї відповіді, вона вже не може існувати! Надійність цієї відповіді на такі неясні ідеї, як "відоме", що є суто суб'єктивним, - робить його менш ніж задовільним як визначення або пояснення випадкових змінних.

— whuber

1

@whuber Англійська та інша людська мова обов'язково неточні. Здається, ви насправді вибираєте слово "залежить", а не "відомо". "функція" є точнішою, але тоді "невідомі події" є невиразними, і тому математики визначають "простір ймовірностей", "алгебра сигми", "вимірювані функції" і т. д. Якщо вам потрібно більш жорстке лікування, Вікіпедія є: en.wikipedia.org/wiki/Random_variable

— Пол

1

@whuber Хоча wikipedia кидається на математичний жаргон, щоб отримати точність, я помічаю, що ваша відповідь, приклад гідного миряни всього цього, хоча варто прочитати, вимагає виконання приблизно 16 абзаців. Але що сказати студенту, який хоче відповідь, на яку потрібно прочитати 5 секунд? Клієнти цінують стислість у визначеннях.

— Пол

5

Це вимірювана реально оцінена функція на ймовірнісному просторі. З кожним із цих технічних термінів - "вимірюваної", "реальної цінності функції" та "простору ймовірностей" я вважаю, що я втратив 90% потенційної аудиторії, залишивши лише 0,1%, що насправді розуміють та оцінюють це визначення. До речі, це суто математичне визначення. Це марно, поки хтось не уточнить, як це можна застосувати до реальної статистичної проблеми - але, принаймні, це правильно (якщо не зовсім загально).

— whuber

69

Вступ

Розмірковуючи над останнім коментарем, я зауважую, що всі відповіді на даний момент страждають від використання невизначених термінів, таких як "змінна" та розпливчасті терміни, як "невідомо", або звернення до технічних математичних понять, таких як "функція" та "простір ймовірностей". Що ми маємо сказати людині, що не має математики, яка хотіла б простого, інтуїтивного, але точного визначення поняття "випадкова величина"? Після кількох попередніх описів, що описують просту модель випадкових явищ, я надаю таке визначення, яке є досить коротким, щоб вміститися в одному рядку. Оскільки це може не повністю задовольнити cognoscenti , далі пояснюється, як поширити це на звичайне технічне визначення.

Квитки в коробці

Один із способів наблизитись до ідеї випадкової змінної - звернутися до моделі випадковості квитків у коробці . Ця модель замінює експеримент або спостереження коробкою, наповненою квитками. На кожному квитку написано можливий результат експерименту. (Результат може бути таким же простим, як "голови" або "хвости", але на практиці це більш складна річ, наприклад, історія цін на акції, повний запис тривалого експерименту або послідовність усіх слів у документі .) Усі можливі результати з’являються принаймні один раз серед квитків; деякі результати можуть з’явитися у багатьох квитках.

Замість того, щоб насправді проводити експеримент, ми ретельно уявляємо, але сліпо - змішуючи всі квитки та вибираючи лише один. Якщо ми можемо показати, що справжній експеримент повинен вести себе так, ніби він був проведений таким чином, то ми звели потенційно складний (і дорогий і тривалий) експеримент у реальному світі до простого, інтуїтивного, продуманого експерименту (або "статистичної моделі" "). Чіткість та простота, що надається цією моделлю, дає можливість провести аналіз експерименту.

Приклад

Стандартні приклади стосуються результатів підкидання монет та кісток та малювання ігрових карт. Вони дещо відволікають свою тривіальність, тому для ілюстрації, припустимо, ми стурбовані результатами президентських виборів у США в 2016 році. Як (крихітне) спрощення, я вважаю, що одна з двох основних партій - Республіканська (R) або Демократичний (D) - переможе. Оскільки (за наявною інформацією на даний момент) результат є невизначеним, ми уявляємо, як покласти квитки в коробку: деякі з написаним на них "R", а інші з "D". Наша модель результату полягає в тому, щоб намалювати з цього поля рівно один квиток.

Щось бракує: ми ще не визначилися, скільки буде квитків на кожен результат. Насправді, з’ясування цього є основною проблемою статистики: на основі спостережень (та теорії), що можна сказати про відносні пропорції кожного результату у графі?

(Я сподіваюсь, що зрозуміло, що пропорції кожного виду квитків у полі визначають його властивості, а не фактичну кількість кожного квитка. Пропорції визначаються - як зазвичай - - кількість кожного квитка, поділена на Наприклад, коробка з одним квитком "D" та одним квитком "R" поводиться так само, як коробка з мільйоном "D" квитків та мільйон "R" квитків, тому що в будь-якому випадку кожен тип є 50% усіх квитків, і тому кожен має 50% шансів отримати, коли квитки ретельно змішані.)

Створення моделі кількісною

Але не будемо тут займатися цим питанням, адже ми поруч із метою визначення випадкової величини. Проблема з моделлю поки що полягає в тому, що її неможливо оцінити, тоді як ми хотіли б відповісти на кількісні запитання. І я не маю на увазі тривіальних питань, а справжніх практичних питань, таких як "якщо моя компанія інвестує мільярд євро в розвиток офшорного викопного палива в США, на скільки зміниться вартість цих інвестицій в результаті виборів 2016 року ? " У цьому випадку модель настільки проста, що ми не можемо зробити багато, щоб отримати реалістичну відповідь на це питання, але ми могли б піти так далеко, щоб проконсультуватися з нашими економічними працівниками та запитати їх думку щодо двох можливих результатів:

Якщо демократи переможуть, на скільки зміниться інвестиція? (Припустимо, відповідь - доларів.) $d$
Якщо республіканці переможуть, наскільки це зміниться? (Припустимо, відповідь - доларів.) $r$

Відповіді - цифри. Щоб використовувати їх у моделі, я попрошу своїх співробітників пройти всі квитки в полі та на кожному квитку "D" написати " доларів", а на кожному "R" квитку написати " доларів". Тепер ми можемо чітко та кількісно моделювати невизначеність інвестицій: її післявиборча зміна вартості така сама, як отримання суми грошей, записаних на одному квитку, вибраному випадковим чином із цього поля. $d$ $r$

Ця модель допомагає нам відповісти на додаткові запитання щодо інвестицій. Наприклад, наскільки сумнівними ми повинні бути щодо вартості інвестицій ? Хоча існують (прості) математичні формули для цієї невизначеності, ми можемо відтворити їхні відповіді досить точно, використовуючи нашу модель кілька разів - можливо, тисячу разів, - щоб побачити, які види результатів насправді мають місце і вимірюючи їх поширення. Модель "в коробці" дає нам можливість кількісно міркувати про невизначені результати.

Випадкові змінні

Для отримання кількісних відповідей про невизначені або мінливі явища, ми можемо прийняти модель "в коробці" та записати номери на квитках. Цей процес написання цифр повинен відповідати лише одному правилу: він повинен бути послідовним. Наприклад, кожен квиток на демократичну партію повинен мати " доларів" на ньому - не виняток - і на кожному республіканському квитку має бути написано " доларів". $d$ $r$

Випадкова величина є будь-яким послідовним способом записати номери на квитках в коробці.

(Математичне позначення для цього полягає в тому, щоб дати ім'я процесу перенумерування, як правило, з великої літери, наприклад, або Ідентифікаційна інформація, написана на квитках, часто називається маленькими літерами, як правило, (нижній регістр грецької "омега" "). Значення, пов'язане за допомогою випадкової змінної з квитком , позначається . У прикладі тоді можна сказати щось на зразок" - випадкова величина, що представляє зміну вартості інвестиції . "Це було б повністю вказано, вказавши і $X$ $Y$ $\omega$ $X$ $\omega$ $X(\omega)$ $X$ $X(\text{D})=d$ $X(\text{R}) = r$ . У більш складних випадках значення задаються більш складними описами і, часто, формулами. Наприклад, квитки можуть представляти ціну за рік, коли варто закрити акції, а випадкова змінна може бути вартістю в певний час деякої деривативи на цій акції, наприклад, опціон пут. Опційний контракт описує, як обчислюєтьсяТорговці опціонами використовують саме таку модель для ціни своїх товарів.) $X$ $X$ $X$

Чи помітили ви, що такий не є ні випадковим, ні змінною? Ні "невідомо", ні "невідомо". Це певне присвоєння (чисел до результатів), що ми можемо записати з повним знанням і повною визначеністю. Що є випадковим є процесом малювання квитка з коробки; то , що це змінна величина на квитку , який може бути звернено. $X$

Зверніть увагу також і на чітке розмежування двох різних питань, пов'язаних з оцінкою інвестицій: я попросив своїх економістів визначити для мене , але не думати про результати виборів. Я буду використовувати іншу інформацію (можливо, зателефонувавши до політичних консультантів, астрологів, використовуючи дошку Ouija чи інше), щоб оцінити пропорції кожного з квитків "D" та "R", які потрібно помістити у поле. $X$

Потім: про вимірюваність

Коли визначення випадкової величини супроводжується застереженням "вимірюваного", то, що дефінір має на увазі, є узагальненням моделі "квитки в коробці" до ситуацій з нескінченною кількістю можливих результатів. (Технічно це потрібно лише за незліченних нескінченних результатів або за участі ірраціональних ймовірностей, і навіть в останньому випадку цього можна уникнути.) З нескінченним числом результатів важко сказати, якою була б частка в цілому. Якщо квитків на "D" нескінченно багато та безмежно багато "R" квитків, які їх відносні пропорції? Ми не можемо дізнатися, просто діленням однієї нескінченності на іншу!

У цих випадках нам потрібен інший спосіб уточнення пропорцій. "Вимірний" набір квитків - це будь-яка колекція квитків у полі, для якої можна визначити їх пропорцію. Коли це зроблено, число, про яке ми думали як "пропорція", називається "ймовірністю". (Не кожна колекція квитків потребує пов'язаної з цим імовірності.)

Окрім задоволення вимоги послідовності, випадкова величина повинна дозволяти нам обчислювати ймовірності, пов'язані з природними питаннями про результати. Зокрема, ми хочемо запевнити, що питання форми "який шанс, що значення буде лежати між такою-і-такою ( ) та такою-і-такою ( )?" насправді матимуть чітко визначені математично відповіді, незалежно від того, які два значення ми дамо для меж та . Кажуть, що такі процедури перезапису є "вимірюваними". Усі випадкові величини повинні бути вимірювані за визначенням. $X$ $X(\omega)$ $a$ $b$ $a$ $b$

— дзижчати
джерело

7

Для тих, хто раніше не знайомий зі випадковими змінними або моделями "в коробці", швидкий інтерактивний підручник на моєму веб-сайті за адресою Quantdec.com/envstats/notes/class_06/tutorial.htm пропонує практику та деякі додаткові концепції.

— whuber

2

Робочий приклад, що ілюструє ці поняття, з’являється на сайті stats.stackexchange.com/a/68782 .

— whuber

2

NB Я підозрюю, що багато людей використовують термін "населення" приблизно в значенні квитків у коробці. Я уникаю цієї термінології, тому що це звучить занадто схоже, що ми можемо створювати лише ймовірнісні моделі для вибірки реальних (фізичних) сукупностей. Навіть коли фізичне населення проходить вибірку, рідко існує ідеальна кореспонденція між собою та квитками. Наприклад, ніхто ніколи не зможе перерахувати жителів Китаю 1 січня 2014 року, частково через невизначеність того, коли люди народжуються, коли вони помирають, і навіть чи вони китайці.

— whuber

4

@jsk Вступ до цієї відповіді пояснює, чому такий догляд видався необхідним. Хоча це правда, що два інші відповіді в цьому потоці містять правильне і повне визначення ("вимірювана функція з простору ймовірностей у вимірюваний простір, відомий як простір стану"), це визначення імпліцитно вимагає розуміння попередніх записів щодо сигма-алгебр, заходів ймовірності, і вимірювані функції. Читачі будуть скаржитися на те, що "це випускний рівень" .

— whuber

4

@ user4205580 Для чисто математичного визначення "узгодженість" взагалі не потрібна, оскільки для математика випадкова величина просто "задана". Для статистичних застосувань, про які йдеться тут, це важлива умова, оскільки багато даних не є числовими: випадкові змінні повинні бути побудовані таким чином, що відповідає моделі та аналітичним цілям. Ви можете самі вирішити, чи є для вас якась цінність у цьому концептуальному розрізненні.

— whuber

16

Неофіційно випадкова величина - це спосіб призначити числовий код кожному можливому результату. *

Приклад 1

Я гортаю монетку. Набір можливих результатів (їх також називають "пробним простором") можна записати як . $\{H,T\}$

Прикладом випадкової змінної можна призначити і . Тобто голови "кодуються" як а хвости "кодуються" як . $X$ $X(H)=1$ $X(T)=0$ $1$ $0$

Приклад 2

Я малюю карту зі стандартної колоди на 52 картки. Сукупність можливих результатів -

{A ♠, K ♠, \dots, 2 ♠, A ♡, K ♡, \dots, 2 ♡, A ♢, K ♢, \dots, 2 ♢, A ♣, K ♣, \dots, 2 ♣} .

$\{A♠, K♠, \dots, 2♠, A♡, K♡, \dots, 2♡, A♢, K♢, \dots, 2♢, A♣, K♣, \dots, 2♣ \}.$

У мосту туз коштує 4 очки на високій картці, король 3, королева 2 та джек 1. Будь-яка інша карта коштує 0 балів.

Таким чином, ми можемо дозволити відповідна випадкова величина, де, наприклад, , , а . $Y$ $Y\left(A♡ \right)=4$ $Y\left(J♣ \right)=1$ $Y\left(7♠ \right)=0$

У чому сенс випадкових змінних? Одна проста відповідь полягає в тому, що абстрактні символи, такі як " ", " " або " ", іноді важко і клопітно обробляти. Тож ми замість цього переводимо їх на числа, якими простіше маніпулювати. $H$ $T$ $A♠$

* Формально випадкова величина - це функція, яка відображає кожен результат (у вибірковому просторі) на реальне число.

— Кенні LJ
джерело

5

+1. Ця відповідь доходить до суті, є правильною та зрозумілою - тим самим уникаючи дурниць про "невідомі" та "змінені" значення, які пронизують інші відповіді в цій темі.

— whuber

12

На відміну від звичайної змінної, випадкова змінна може не замінюватись єдиним незмінним значенням. Можуть бути констатовані досить статистичні властивості, такі як розподіл випадкової величини. Розподіл - це функція, яка забезпечує ймовірність, що змінна прийме задане значення або потрапить у діапазон із заданими параметрами, такими як середнє або стандартне відхилення.

Випадкові змінні можуть бути класифіковані як дискретні, якщо розподіл описує значення з налічуваного набору, таких як цілі числа. Інша класифікація випадкової величини є безперервною і застосовується, якщо розподіл охоплює значення з незлічуваного набору, такого як реальні числа.

— Шарпі
джерело

2

Тут, мабуть, найкраще не використовувати термін "нормальна змінна", коли ви не маєте на увазі нормально розподілену випадкову змінну.

— Роб Хайндман

Домовились. Хоча я особисто дивився би на когось смішного кілька секунд, якби вони сказали "нормальна змінна" і не кинули туди слово "випадкова" чи "розподілене", щоб сказати мені, що це те, що вони обговорювали. Але я також інженер, а не статистик, тому я не використовую стільки позначень, що стосуються домену.

— Шарпі

7

Випадкові змінні можуть бути класифіковані як дискретні, якщо вони не звертають на себе уваги. Якщо вони просто перелічені, ми говоримо дискретно :-P Крім того, ви маєте на увазі прописати, а не прописувати, але я думаю, що опис може бути більш підходящим. Приємна відповідь у будь-якому випадку - сподіваємось, +1 допоможе пом’якшити випалення!

— walkytalky

@walkytalky Спасибі за виправлення - я зробив деякі виправлення.

— Шарпі

1

Будь-яка змінна є заповнювачем значення. Ви можете призначити те чи інше значення змінній (іноді набір значень, який ви можете призначити, обмежується набором, що називається типом ). Змінні, які зберігають єдине незмінне значення, відомі як "константи". Ви можете сказати, що випадкова величина зберігає відоме значення, тоді як значення випадкової величини невідоме? Це суперечить іншим відповідям, які говорять про те, що випадкова змінна зовсім не є змінною - це функція, яка (детерміновано) відображає невідомий стан на щось інше. Вони не випадкові, і це не змінна.

— Валь

6

Мені розповіли цю історію:

Випадкову змінну можна порівняти зі священною римською імперією: Священна Римська імперія не була святою, не римською і не була імперією.

Таким же чином випадкова змінна не є ні випадковою, ні змінною. Це лише функція. (історію розповіли тут: джерело ).

Це принаймні хитрий спосіб пояснення, який може допомогти людям запам'ятати!

— kjetil b halvorsen
джерело

3

З Вікіпедії :

У математиці (особливо теорії ймовірностей та статистиці) випадкова величина (або стохастична змінна) є (загалом) вимірюваною функцією, яка відображає простір ймовірностей у вимірюваному просторі. Випадкові змінні, які відображають всі можливі результати події в реальні числа, часто вивчаються в елементарній статистиці і використовуються в науках для прогнозування на основі даних, отриманих в результаті наукових експериментів. Окрім наукових застосувань, були розроблені випадкові змінні для аналізу ігор на випадковість та стохастичні події. Корисність випадкових змінних випливає з їх здатності фіксувати лише математичні властивості, необхідні для відповіді на імовірнісні запитання.

З сайту cnx.org :

Випадкова величина - це функція, яка призначає унікальні числові значення всім можливим результатам випадкового експерименту у фіксованих умовах. Випадкова величина - це не змінна, а швидше функція, яка відображає події на числа.

— Мехпер С. Палавузлар
джерело

4

Жодне з визначень cnx.org не є правильним: перше через його розпливчасте - і, можливо, оманливе - використання "унікальних" та "фіксованих умов", а друге, тому що воно просто неправильне; RV визначається за результатами (елементами вибіркового простору), а не подіями (вимірювані набори результатів).

— whuber

P = κ λ e^{- λ t}

$P=\kappa \lambda e^{-\lambda t}$

κ = \int_{0}^{\infty} P (t) d t

$\kappa=\int_0^\infty P(t) dt$

E D (t) = λ e^{- λ t}

$ED(t)=\lambda e^{-\lambda t}$

E D (t)

$ED(t)$

1

f (x)

$f(x)$

3

Випадкова величина, яку зазвичай позначають X, - це змінна, де результат невизначений. Спостереження за певним результатом цієї змінної називається реалізацією. Більш конкретно, це функція, яка відображає простір ймовірностей у вимірюваний простір, який зазвичай називають простором стану. Випадкові змінні бувають дискретні (можуть приймати ряд різних значень) або безперервні (можуть приймати нескінченну кількість значень).

Розглянемо випадкову змінну X, яка є загальною величиною, отриманою при прокатуванні двох кісток. Він може приймати будь-яке зі значень 2-12 (з однаковою ймовірністю дають справедливі кістки), і результат не буде визначеним, поки кістки не будуть скачені.

— Грем Кукссон
джерело

5

Просто думка, але це звучить так, що ти кажеш, що ймовірність кочення 12 (1/36) така ж, як і 7 (1/6).

— jefflovejapan

0

У моєму не-математичному університетському дослідженні нам сказали, що випадкова величина - це карта зі значень, які змінна може приймати до ймовірностей. Це дозволило провести розподіл ймовірностей

Нещодавно я зрозумів, наскільки це відрізняється від того, що мають на увазі математики. Виявляється, що під випадковою змінною вони означають просту функцію X: Ω → R, яка бере елемент вибіркового простору Ω (він же результат, квиток або індивід , як пояснено вище) і переводить його в реальне число R в діапазоні ( -∞, ∞). Тобто вище було влучно зазначалося, що це зовсім не випадково і взагалі немає змінної. Випадковість зазвичай поставляється з мірою ймовірності P, як частиною простору вимірювання (Ω, P). P відображає зразки на R, подібно до випадкової величини, але цей часовий діапазон обмежений [0,1], і ми можемо сказати, що випадкова змінна переводить (Ω, P) в (R, P), таким чином, випадкова величина оснащена ймовірністю міра P: R -> [0,1], щоб ви могли сказати для кожного x у R, яка ймовірність його виникнення.

Я не знаю, навіщо вам потрібні подібні випадкові величини і чому ви не можете в першу чергу відібрати елементи R, але здається, що переклад зразків на числові значення дозволяє нам замовляти вибірки, проводити розподіл та обчислювати очікування. У мене ця ідея читає навчальний посібник з теорії міри (теорія міри для чайників) Можливо, математики мають кращі застосування на увазі випадкової величини, але я не можу їх знайти у своєму зайвому дослідженні. Цей самий текст говорить про те, що для обчислення ентропії для алфавіту не потрібно завжди перетворювати зразки в числа. $\Omega$

H (Ω) = \sum P (Ω_{i}) l n (Ω_{i})

$H(\Omega) = \sum{P(\Omega_i) ln (\Omega_i)}$

інтеграл не потребує реальних значень випадкової величини.

— Вал
джерело

X

$X$

A

$A$

σ

$\sigma$

A

$\mathcal{A}$