Чи можна перетворити коваріаційну матрицю в невизначеність для змінних?

У мене є GPS-пристрій, який видає вимірювання шуму за допомогою матриці коваріації $\Sigma$ :

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(там також задіяно, але давайте ігноруємо це на секунду.)$t$

Припустимо, я хочу сказати комусь іншому, що точність у кожному напрямку ( ) - це деяке число. . Тобто мій GPS може дати мені прочитати і т. Д. Моє розуміння полягає в тому, що в цьому випадку означає, що всі вимірювання не залежать один від одного (тобто коваріація матриця діагональна). Більше того, пошук векторної помилки є таким же простим, як і додавання помилок у квадратурі (квадратний корінь суми квадратів).$x,y,z$$\mu_x, \mu_y, \mu_z$$x=\bar{x}\pm\mu_x$$\mu$

Що станеться, якщо моя коваріаційна матриця не діагональна? Чи є просте число яке охоплює ефекти напрямків і ? Як я можу знайти, що задано матрицю коваріації?$\mu_x^*$$y$$z$

Не існує єдиного числа, яке б охоплювало всю інформацію про коваріацію - є 6 частин інформації, тому вам завжди потрібно 6 номерів.

Однак є ряд речей, які ви можете розглянути.

$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

$\mathbf{e}_i$

$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Тож похибка в кожному з розглянутих напрямків окремо задається діагоналлю матриці коваріації. Це має сенс інтуїтивно - якщо я розглядаю лише один напрямок, то зміна лише кореляції не має значення.

Ви правильно зазначаєте, що просто констатуєте:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Не означає жодної кореляції між цими трьома твердженнями - кожне твердження самостійно є абсолютно правильним, але разом із деякою інформацією (кореляцією) було відкинуто.

Якщо ви будете проводити багато вимірювань, кожен з однаковим співвідношенням помилок (якщо припустити, що це походить від вимірювальної апаратури), то одна елегантна можливість - повернути координати, щоб діагоналізувати коваріаційну матрицю. Тоді ви можете подавати помилки в кожному з цих напрямків окремо, оскільки вони тепер будуть некорельовані.

Щодо прийняття "векторної помилки", додавши в квадратуру, я не впевнений, що я розумію, що ви говорите. Ці три помилки є помилками в різних кількостях - вони не скасовують одна одну, і тому я не бачу, як можна їх скласти. Ви маєте на увазі помилку на відстані?