Як мені подумки боротися з парадоксом Бореля?

Я відчуваю себе трохи непросто з тим, як я подумки мав справу з парадоксом Бореля та іншими пов'язаними з ними "парадоксами", що стосуються умовної ймовірності. Для тих, хто читає це, які не знайомі з цим, дивіться це посилання . Моя психічна реакція до цього моменту полягала в тому, щоб зважати на це, оскільки ніхто, здається, не говорив про це, але я вважаю, що я повинен це виправити.

Ми знаємо, що цей парадокс існує, і все ж здається, що на практиці (як крайній приклад, байєсівський аналіз) ми прекрасно ставимося до кондицій на події міри ; якщо - це мої дані, ми ставимо на весь час, навіть якщо це подія міри коли є безперервним. І ми, звичайно, не докладаємо зусиль, щоб побудувати послідовність подій, що сходяться до події, яку ми спостерігали, щоб вирішити парадокс, принаймні, не прямо. $0$ $X$ $X = x$ $0$ $X$

Я думаю, що це нормально, тому що ми по суті фіксували випадкову змінну (в принципі) перед експериментом, і тому ми обумовлюємося на . Тобто, - це природна -алгебра, на яку потрібно умовити, тому що інформація надходить через - якби вона дійшла до нас якось іншим способом, ми б умовляли іншу -алгебра. Парадокс Бореля виникає через те, що (я думаю) не очевидно, для чого потрібна алгебра, але Байєс вказав . Тому що ми апріорі вказуємо, що інформація $X$ $\sigma(X)$ $\sigma(X)$ $\sigma$ $X = x$ $X$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma(X)$ $X = x$ прийшов до нас за допомогою вимірювання $X$ ми знаходимося в чистоті. Після того, як ми вказали -алгебра, все добре; ми будуємо наше умовне очікування, використовуючи Радон-Нікодим, і все є унікальним до нульових наборів. $\sigma$

Це по суті правильно, чи я відволікаюся? Якщо я далеко, то , що це виправдання для себе , як ми робимо? [Враховуючи характер питань і відповідей цього веб-сайту, розгляньте це як своє питання.] Коли я взяв мою теоретико-вимірювальну ймовірність, ми, чомусь не розумію, ніколи навіть не торкалися умовного очікування. Як результат, я переживаю, що мої ідеї дуже заплутані.

probability conditional-probability conditional-expectation

— хлопець
джерело

Коли я взяв міру теоретичну ймовірність, ми, чомусь не розумію, навіть не торкнулися умовного очікування. Вау. Мене цікавить цей маленький фрагмент. Який текст ви використали? Як ти пройшов курс з такою назвою і ніколи не дивився на мартингали, ланцюги Маркова чи ряд інших «стандартних» тем?

— кардинал

Я думаю, що "велика картина" за цією відповіддю дає хоча б часткову відповідь на ці запитання. :)

— кардинал

@cardinal Ми не використовували підручник, ми використовували конспекти інструкторів. Викладач провів всю свою дослідницьку кар'єру, доводячи закони великої кількості для простору Банаха, що оцінювали випадкові елементи, і, мабуть, не було потреби в таких речах. Як результат, він не навчив їх. Ми дізналися теми, які він визнав важливими для своєї роботи. Інший професор, який викладав ймовірність, використовував Біллінглі і не був таким далекоглядним. Я зібрав те, що знаю, прочитавши свого часу Біллінгслі.

— хлопець

Дякуємо, що побалували мене і (+1) за ваше запитання. До речі, Біллінгслі - чудовий довідковий текст, але, мабуть, трохи засмучує тест класу та вибір самостійного вивчення, якщо не з іншої причини, ніж організація. Можливо, вас зацікавить ймовірність Д. Вільямса з Мартінгейлом, якщо ви хочете короткого супутника, який вирішує великий акцент на умовне очікування. Ура. :-)

— кардинал

Як байєсів, я б сказав, що парадокс Бореля не має нічого спільного з баєсівською статистикою (або дуже мало). За винятком того, що Баєсова статистика використовує, звичайно, умовні розподіли. Те, що немає парадокса у визначенні заднього розподілу як умовного набору міри нуля полягає в тому, що вибирається не заздалегідь, а як результат спостереження. Таким чином, якщо ми хочемо використовувати екзотичні визначення для умовних розподілів на множини міри нульові, є нульовий шанс, що ці множини будуть містити $\{X=x\}$ $x$ $x$ що ми будемо спостерігати зрештою. Умовний розподіл визначений унікально майже скрізь, а отже, майже напевно, це наше спостереження. У цьому й сенс (великої) цитати А. Колмогорова у записі вікіпедії.

Місце в баєсівському аналізі, де мірно-теоретичні тонкощі можуть перетворитися на парадокс, - це представлення Сайджева-Діккі фактора Байєса, оскільки це залежить від конкретної версії попередньої щільності (про що йдеться в нашій роботі на цю тему ...)

— Сіань
джерело