Пояснення кінцевого поправочного коефіцієнта

Я розумію, що при вибірці від кінцевої сукупності та розмірі вибірки більше 5% від сукупності нам потрібно виправити середню та стандартну помилку вибірки, використовуючи цю формулу:

$\hspace{10mm} FPC=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$

Де - чисельність сукупності і - розмір вибірки.$N$$n$

У мене є 3 питання щодо цієї формули:

1. Чому встановлено поріг у 5%?
2. Як була виведена формула?
3. Чи є інші інтернет-ресурси, які всебічно пояснюють цю формулу, окрім цього документу?

Поріг вибирається таким, що забезпечує зближення гіпергеометричного розподілу ( - його SD), а не біноміального розподілу (для вибірки із заміною) до нормального розподілу ( це теорема центрального граничного значення, див., наприклад, Нормальна крива, Центральна гранична теорема та Нерівності Маркова та Чебичева для випадкових змінних ). Іншими словами, коли (тобто є не надто великим) порівняно з ), FPC можна сміливо ігнорувати; неважко зрозуміти, як коефіцієнт корекції еволюціонує зі зміною для фіксованого : при ми маємо$\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$n/N\leq 0.05$$n$$N$$n$$N$$N=10,000$$\text{FPC}=.9995$ коли а коли . Коли , FPC наближається до 1, і ми близькі до ситуації вибірки із заміною (тобто, як з нескінченною сукупністю).$n=10$$\text{FPC}=.3162$$n=9,000$$N\to\infty$

Для розуміння цих результатів хорошим початковим пунктом є прочитання деяких онлайн-підручників з теорії вибірки, де вибірка проводиться без заміни ( простий вибірковий вибірки ). Цей онлайн-підручник з непараметричної статистики містить ілюстрацію щодо обчислення очікування та відхилення для загальної кількості.

Ви помітите , що деякі автори використовують замість в знаменнику FPC; насправді це залежить від того, чи працюєте ви з вибіркою чи статистикою сукупності: для дисперсії це буде замість якщо вас цікавить а не .$N$$N-1$$N$$N-1$$S^2$$\sigma^2$

Щодо онлайн-посилань, я можу вам запропонувати

• Оцінка та статистичний висновок
• Новий погляд на умовиводи для гіпергеометричного розподілу
• Кінцева вибірка населення із застосуванням до гіпергеометричного розподілу
• Проста випадкова вибірка