Сума двох незалежних гамма-випадкових величин

13

Відповідно до статті Вікіпедії про розповсюдження Гамми :

Якщо і , де і є незалежними випадковими змінними, то . $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ $X$ $Y$ $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$

Але я не бачу доказів. Хто-небудь може вказати мені на його докази, будь ласка?

Редагувати: Дякую Дзену, і я знайшов відповідь як приклад на сторінці Вікіпедії про характерні функції .

probability pdf gamma-distribution

— Dexter12
джерело

3

Інтуїція: Гамма розподіли виникають як суми незалежних Експоненціальних розподілів, звідки в цьому контексті прямо зараз, що матиме розподіл Гамма умови і це додатні цілі числа.

(n)

$(n)$

n

$n$

X + Y

$X+Y$

(a + b, θ)

$(a+b,\theta)$

a

$a$

b

$b$

— whuber

15

Доведення полягає в наступному: (1) Пам'ятайте, що характерна функція суми незалежних випадкових величин є добутком їх окремих характерних функцій; (2) Отримати характеристическую функцію випадкової величини гами тут ; (3) Зробіть просту алгебру.

Щоб отримати трохи інтуїції за межами цього алгебраїчного аргументу, перегляньте коментар Whuber.

Примітка: ОП запитала, як обчислити характерну функцію гамма-випадкової величини. Якщо , то ( у цьому випадку ви можете трактувати як звичайну константу) $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ $i$

ψ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = \int_{0}^{\infty} e^{i t x} λ e^{- λ x} d x = \frac{1}{1 - i t / λ} .

$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$

Тепер скористайтеся підказою Губера: Якщо , то , де незалежні . Тому, використовуючи властивість (1), маємо $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ $Y=X_1+\dots+X_k$ $X_i$ $\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

ψ_{Y} (t) = {(\frac{1}{1 - i t θ})}^{k} .

$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$

Порада: ви не навчитесь цим речам, дивлячись на результати та докази: голодуйте, обчислюйте все, намагайтеся знайти власні докази. Навіть якщо ви не зможете, ваша оцінка чужої відповіді буде на набагато вищому рівні. І так, провал ОК: ніхто не дивиться! Єдиний спосіб засвоїти математику - це кулачні бої за кожну концепцію та результат.

— Дзен
джерело

Згадане твердження прямо зазначає, "якщо всі Xi є незалежними".

— whuber

Я не розумію, як ми дійшли до характерних функцій?

— Dexter12

Я додам це до відповіді. Поглянь.

— Дзен-

Можливо, ви можете включити посилання на характерну функцію для не цілих значень ?

Γ (a, θ)

$\Gamma(a,\theta)$

a

$a$

— Діліп Сарват

14

Ось відповідь, що не потрібно використовувати характерні функції, а натомість підкріплює деякі ідеї, які мають інші види використання в статистиці. Щільність суми незалежних випадкових величин - це згортки густин. Отже, приймаючи для зручності експозиції, ми маємо для , $\theta = 1$ $z > 0$

\begin{aligned} f_{X + Y} (z) & = \int_{0}^{z} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x \\ = \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} e^{- x}}{Γ (a)} \frac{(z - x)^{b - 1} e^{- (z - x)}}{Γ (b)} d x \\ = e^{- z} \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} (z - x)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d x & now substitute x = z t and think \\ = e^{- z} z^{a + b - 1} \int_{0}^{1} \frac{t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d t & of Beta (a, b) random variables \\ = \frac{e^{- z} z^{a + b - 1}}{Γ (a + b)} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$

— Діліп Сарват
джерело

3

(+1) Ідеально мати кілька способів довести все. Можливо, хтось опублікує відповідь щодо перетворення .

(X, Y) \mapsto (U, V) = (X + Y, X)

$(X,Y)\mapsto(U,V)=(X+Y,X)$

— Дзен-

Чи можемо ми аналогічно знайти щільність у виразі закритої форми? Я не в змозі спростити інтеграли в цьому випадку.

X - Y

$X-Y$

— pikachuchameleon

@pikachuchameleon Дивіться цю мою відповідь.

— Діліп Сарват

3

На більш евристичному рівні: якщо і цілі числа, розподіл Gamma - це розподіл Ерланга, і тому і описують тривалість очікування відповідно випадків і в процесі Пуассона зі швидкістю . Два терміни очікування і є $a$ $b$ $X$ $Y$ $a$ $b$ $\theta$ $X$ $Y$

незалежний
підсумовують час очікування для подій $a+b$

а час очікування для подій поширюється Gamma ( ). $a+b$ $a+b,\theta$

Ніщо з цього не є математичним доказом, але воно накладає частину плоті на кістки з'єднання і може бути використане, якщо ви хочете, щоб тіло його було в математичному доказі.

— Швейн Олав Найберг
джерело