Поєднання двох матриць коваріації

Я обчислюю паралельно коваріацію розподілу, і мені потрібно поєднувати розподілені результати в сингулярному гауссі. Як поєднати ці два?

Лінійна інтерполяція між цими двома майже працює, якщо вони однаково розподілені та розміри.

Вікіпедія пропонує форуми внизу для комбінації, але це не здається правильним; два однаково розподілених розподіли повинні мати однакову коваріацію, але формула внизу сторінки подвоює коваріацію.

Чи є спосіб поєднати дві матриці?

covariance moments

— Метт Кемп
джерело

Формула Вікіпедії відповідає на ваше запитання, Метт: ви, можливо, не помітили, що це часткова формула, де згодом вам потрібно розділити розмір вибірки.

— whuber

Я зараз це зрозумів, з вашою допомогою - якщо ви поставите це у відповідь, я позначу це як відповідь.

— Метт Кемп

Це питання виникає багато в різних образах. Що для них є спільним

Як я можу поєднувати статистику на основі моментів, яка була обчислена з суміжних підмножин моїх даних?

Найпростіший додаток стосується даних, які були розділені на дві групи. Ви знаєте розміри групи та засоби групи. Що стосується лише цих чотирьох кількостей, яке загальне значення мають дані?

Інші додатки узагальнюють від засобів до дисперсій, стандартних відхилень, коваріаційних матриць, похибок та багатовимірної статистики; і може включати кілька підгруп даних. Зауважте, що багато з цих величин є дещо складними комбінаціями моментів: наприклад, стандартне відхилення - це квадратний корінь квадратичного поєднання першого та другого моментів (середній і середній квадрат).

Усі подібні випадки легко розглядаються шляхом зменшення різних моментів до сум, оскільки суми очевидно і легко поєднуються: вони додаються. Математично зводиться до цього: у вас є група даних , які були розділені на нероздільні групи розмірів : $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $j_1, j_2, \ldots, j_g$ . Назвемо ю групу $(x_1, x_2, \ldots, x_{j_1}; x_{j_1+1}, \ldots, x_{j_1+j_2}; x_{j_1+j_2+1}, \ldots; \ldots; \ldots, x_n)$ $i$ . За визначенням,ймоментбудь-якої партії даних- середнє значенняї потужності, $X_{(i)} = (x_{j_i+1},x_{j_i+2}, \ldots, x_{j_{i+1}})$ $k$ $y_1, \ldots, y_j$ $k$

{мк}_{к} (у) = (у_{1}^{к} + у_{2}^{к} + \dots + у_{j}^{к}) / j .

$\mu_k(y) = \left(y_1^k + y_2^k + \cdots + y_j^k\right)/j.$

Очевидно, - сума ї потужності. Тому, посилаючись на попереднє розкладання даних на підгрупи, ми можемо розділити суму повноважень на групи сум, отримуючи $j \mu_k(y)$ $k$ $g$ $n$

\begin{aligned} н {мк}_{к} (Х) & = (х_{1}^{к} + х_{2}^{к} + \dots + х_{н}^{к}) \\ = (х_{1}^{к} + х_{2}^{к} + \dots + х_{j_{1}}^{к}) + \dots + (х_{j_{1} + \dots + j_{г - 1} + 1}^{к} + х_{j_{1} + \dots + j_{г - 1} + 2}^{к} + \dots + х_{н}^{к}) \\ = j_{1} {мк}_{к} (Х_{(1)}) + j_{2} {мк}_{к} (Х_{(2)}) + \dots + j_{г} {мк}_{к} (Х_{(г)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ n \mu_k(X) &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k\right) \\ &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_{j_1}^k\right) + \cdots + \left(x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+1}^k + x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+2}^k + \cdots + x_n^k\right)\\ &= j_1 \mu_k(X_{(1)}) + j_2 \mu_k(X_{(2)}) + \cdots + j_g \mu_k(X_{(g)}). }$

Розділення на виставляє й момент всієї партії з точки зору -ми моментів її підгруп. $n$ $k$ $k$

У цій заявці записи в матриці коваріації є, звичайно, коваріаціями, які є вираженими з точки зору багатоваріантних секунд та перших моментів. Ключова частина розрахунку зводиться до цього: на кожному кроці ви будете зосереджені на двох конкретних компонентах своїх багатоваріантних даних; назвемо їх і . Цифри, які ви дивитесь, є у формі $x$ $y$

((х_{1}, у_{1}), (х_{2}, у_{2}), \dots, (х_{н}, у_{н})),

$((x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)),$

$g$ $x_iy_i$ $(1,1)$ $\mu_{(1,1)}$ $n$

$n-1$ $n$ $n-1$ $j_i-1$ $n$ $j_i$

$n$

— дзижчати
джерело

Я трохи розгублений щодо визначення k-го моменту. Ви припускаєте нульові середні дані?

— reschu

k^{th}

$k^\text{th}$

Може погано! Я змішував "центральний" і "сирий" моменти. Дякуємо за роз’яснення!

— reschu

Я думаю, «щоб знати засоби розмірів підгруп» у передостанньому абзаці слід замість цього «знати знання засобів підгруп»? (Я вагаюся редагувати це сам, оскільки я не намагався дуже уважно вивчити відповідь)

— Juho Kokkala

@Juho Ви абсолютно правильні. Дякую, що помітили це!

— whuber