Студент t як суміш гаусса

23

Використовуючи t-розподіл студента з градусів свободи, параметр розташування та параметр шкали має щільність $k > 0$ $l$ $s$

\frac{Γ (\frac{к + 1}{2})}{Γ (\frac{к}{2} \sqrt{к π с^{2}})} {1 + к^{- 1} (\frac{х - л}{с})}^{- (к + 1) / 2},

$\frac{\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\sqrt{k \pi s^2}\right)} \left\{ 1 + k^{-1}\left( \frac{x-l}{s}\right)\right\}^{-(k+1)/2},$

як показати, що розподіл Стьюдента може бути записаний як суміш гауссових розподілів, пропустивши , та інтегруючи щільність суглоба щоб отримати граничну щільність ? Які параметри отриманого -розподілу як функції ? $t$ $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ $\tau = 1/\sigma^2\sim\Gamma(\alpha,\beta)$ $f(x,\tau|\mu)$ $f(x|\mu)$ $t$ $\mu,\alpha,\beta$

Я загубився в обчисленні, інтегруючи спільну умовну щільність з розподілом Гамма.

distributions mixture

— Саліх Укан
джерело

31

PDF звичайного розповсюдження є

f_{мк, σ} (х) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} е^{- \frac{(х - мк)^{2}}{2 σ^{2}}} г х

$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$

але з точки зору це так $\tau = 1/\sigma^2$

g_{μ, τ} (x) = \frac{\sqrt{τ}}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{τ (x - μ)^{2}}{2}} d x .

$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$

PDF-дистрибутив Gamma є

h_{α, β} (τ) = \frac{1}{Γ (α)} e^{- \frac{τ}{β}} τ^{- 1 + α} β^{- α} d τ .

$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$

Тому їхній продукт, трохи спрощений з легкої алгебри, є

f_{μ, α, β} (x, τ) = \frac{1}{β^{α} Γ (α) \sqrt{2 π}} e^{- τ (\frac{(x - μ)^{2}}{2} + \frac{1}{β})} τ^{- 1 / 2 + α} d τ d x .

$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$

Внутрішня його частина очевидно має вигляд , що робить її кратною функцією Gamma при інтеграції за весь діапазон до . Цей інтеграл, таким чином, є безпосереднім (отримується знанням інтегралу розподілу Гамми є єдністю), що дає граничне розподіл $\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$ $\tau=0$ $\tau=\infty$

f_{μ, α, β} (x) = \frac{\sqrt{β} Γ (α + \frac{1}{2})}{\sqrt{2 π} Γ (α)} \frac{1}{{(\frac{β}{2} (x - μ)^{2} + 1)}^{α + \frac{1}{2}}} .

$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$

Намагаючись відповідати шаблоном , відведений для розподілу показує , є помилка в питанні: PDF для розподілу Стьюдента Студентського фактично пропорційний $t$

\frac{1}{\sqrt{k} s} {(\frac{1}{1 + k^{- 1} {(\frac{x - l}{s})}^{2}})}^{\frac{k + 1}{2}}

$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$

(потужність дорівнює , а не ). Відповідність доданків вказує на , , $(x-l)/s$ $2$ $1$ $k = 2 \alpha$ $l=\mu$ . $s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$

Зауважте, що для цього виведення не потрібне обчислення: все було справою пошуку формул PDF-файлів Normal і Gamma, проведення деяких тривіальних алгебраїчних маніпуляцій із залученням продуктів та потужностей, а також узгодження зразків в алгебраїчних виразах (у тому порядку).

— дзижчати
джерело

10

Натхненний цією відповіддю, я зробив анімацію розподілу t як суміш звичайних розподілів. Він доступний тут: sumsar.net/blog/2013/12/t-as-a-mixture-of-normals

— Rasmus Bååth

1

@whuber: З технічної точки зору, для такого виду зіставлення завжди існує неявне використання числення в визнанні того, що ви можете інтегрувати щільність гамми, використовуючи відому їй інтегральну форму. (Це еквівалент статистики приховувати брокколі, змішуючи її з м'ясом і картоплею.) Розумний спосіб приховати обчислення!

— Відновіть Моніку

1

Я не знаю кроків розрахунку, але я знаю результати якоїсь книги (не можу пригадати, яку з них ...). Я звичайно тримаю це на увазі безпосередньо ... :-) Студента розподіл з свободи ступеня можна розглядати як нормальний розподіл з дисперсією суміші , де виходить протилежне гамма - розподіл. Точніше, ~ , = $t$ $k$ $Y$ $Y$ $X$ $t(k)$ $X$ *, де~,є нормальним нормальним rv. Я сподіваюся, що це могло б вам допомогти в якомусь сенсі. $\sqrt Y$ $\Phi$ $Y$ $IG(k/2,k/2)$ $\Phi$

— Цзіньцзінгс
джерело

0

Для спрощення вважаємо середнім $0$ . Використовуючи представлення, ми показуємо результат для цілих ступенів свободи.

\sqrt{1 / τ} Х = Y

$\sqrt{1/\tau} X =Y$ еквівалентний гауссовій суміші з попередньою: обумовлена

τ

$\tau$ ,

Y

$Y$ - гауссова з точністю

τ

$\tau$ , а попередня

τ

$\tau$ є бажаною. Тоді залишається показати, що

\sqrt{1 / τ} X

$\sqrt{1/\tau} X$ - t-розподіл. Можна записати

τ \sim Γ (α, β) \sim \frac{β}{2} Γ (α, 2) \sim \frac{β}{2} χ^{2} (2 α)

$\tau \sim \Gamma(\alpha, \beta) \sim \frac{\beta}{2} \Gamma(\alpha, 2) \sim \frac{\beta}{2} \chi^2(2\alpha)$ використовуючи добре відомий результат про гамми та Chi-квадрати (розкласти гаму як суму експоненцій і об'єднати експоненти до нормалей до квадратів Chi). Це в свою чергу означає, що

Y \sim Х \frac{1}{\sqrt{(β / 2) χ^{2} (2 α)}}

$Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(\beta/2) \chi^2(2\alpha)} }$

= \frac{Х \sqrt{α β}}{\sqrt{χ_{2 α}^{2} / (2 α)}}

$= \frac{ X \sqrt{\alpha \beta} }{\sqrt{ \chi^2_{2\alpha}/(2\alpha)}}$ що є масштабним t при

k = 2 α

$k=2\alpha$ і

s = 1 / \sqrt{α β}

$s=1/\sqrt{\alpha \beta}$ за дисперсією t. Ми можемо переглянути своє представництво в

μ

$\mu$ і

l

$l$ слідував за цим.

— Роміль Сірохі
джерело