Варіант двох зважених випадкових величин

Дозволяє:

Стандартне відхилення випадкової величини$A =\sigma_{1}=5$

Стандартне відхилення випадкової величини$B=\sigma_{2}=4$

Тоді дисперсія A + B дорівнює:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Де:

$p_{1,2}$ - кореляція між двома випадковими змінними.

$w_{1}$ - вага випадкової величини A

$w_{2}$ - вага випадкової величини B

$w_{1}+w_{2}=1$

На малюнку нижче зображено дисперсію A і B, коли вага A змінюється від 0 до 1, для кореляцій -1 (жовтий), 0 (синій) та 1 (червоний).

Як у результаті формули вийшла пряма (червона), коли кореляція дорівнює 1? Наскільки я можу сказати, коли , формула спрощується до:$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Як я можу виразити це у вигляді ?$y=mx+c$

Дякую.

Використовуючи , обчислити$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

Це показує, що коли , графік дисперсії проти (показаний збоку на ілюстрації) є параболою з центром у . Жодна частина будь-якої параболи не є лінійною. З і центр знаходиться на : шлях нижче графіка в масштабі, в якому він намальований. Таким чином, ви дивитесь на невеликий шматочок параболи, який буде здаватися лінійним.$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

Коли , дисперсія є лінійною функцією . У цьому випадку сюжет буде ідеально вертикальним відрізком лінії.$\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

До речі, ви вже знали цю відповідь, без розрахунку, оскільки основні принципи передбачають, що графік дисперсії не може бути лінією, якщо вона не є вертикальною. Зрештою, не існує ні математичної, ні статистичної заборони обмежувати лежати між і : будь-яке значення визначає нову випадкову змінну (лінійна комбінація випадкових величин A і B) і тому повинно мати негативне значення за її дисперсію. Тому всі ці криві (навіть якщо вони поширюються на повний вертикальний діапазон ) повинні лежати праворуч від вертикальної осі. Це виключає всі лінії, крім вертикальних.$w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

Діаграма дисперсії для :$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

Це не лінійно. Формула говорить, що це не лінійно. Довіряйте своєму математичному інстинкту!

Він відображається лінійним у графіку через масштаб, з і . Спробуйте самі: обчисліть ухили в декількох місцях, і ви побачите, що вони відрізняються. Ви можете перебільшувати різницю, вибравши , скажімо.σ 2 = 4 σ 1 = $\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

Ось декілька код R:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

Якщо ви хочете перевірити деякі схили:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1