Матриця коваріації для Гауссового процесу та розподілу Вішарта

Я читаю цей документ про Узагальнені процеси Вішарта (GWP). У роботі обчислюються коваріації між різними випадковими змінними (за Гауссовим процесом ) за допомогою функції експоненціальної коваріації у квадраті, тобто . Потім йдеться про те, що ця матриця коваріації слідує за GWP. $K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$

Я думав, що коваріаційна матриця, обчислена з функції лінійної коваріації ( ) $K(x,x') = x^Tx'$ , відповідає розподілу Вішарта з відповідними параметрами.

Моє запитання полягає в тому, як ми можемо вважати, що коваріація слідує за розподілом Вішарта з квадратичною експоненціальною функцією коваріації? Крім того, яка загальна умова функції коваріації для отримання матриці коваріації розподіленої Вішарта?

— стійкі риби
джерело

Змішується специфікація коваріації з урахуванням оточуючого простору, в якому визначений процес Гаусса, і операція, що перетворює кінцеву розмірну гауссову випадкову змінну для отримання розподілу Вішарта.

Якщо - -вимірна гауссова випадкова величина (вектор стовпця) із середнім 0 та коваріаційною матрицею , розподіл - розподіл Wishart . Зауважте, що - матриця . Це загальний результат про те, як квадратична форма перетворює розподіл Гаусса в розподіл Вішарта. Він справедливий для будь-якого вибору позитивної визначеної матриці коваріації . Якщо у вас є спостереження в iid $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $p$ $\Sigma$ $\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$ $W_p(\Sigma, 1)$ $\mathbf{W}$ $p \times p$

x \mapsto x x^{T}

$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$

Σ

$\Sigma$

X_{1}, \dots, X_{n}

$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$ тоді з розподіл є Wishart

W_{i} = X_{i} X_{i}^{T}

$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$

W_{1} + \dots + W_{n}

$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$

W_{p} (Σ, n)

$W_p(\Sigma, n)$ -розподіл. Розділившись на

отримаємо матрицю емпіричної коваріації

оцінку

n

$n$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Для Гауссових процесів існує навколишній простір, для ілюстрації скажемо, що це , таким чином, що розглядаються випадкові змінні індексуються елементами в просторі навколишнього середовища. Тобто, ми розглянемо процес . Гауссова (а для простоти, тут із середнім 0), якщо її кінцеві розмірні граничні розподіли є гауссовими, тобто якщо $\mathbb{R}$ $(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$ для всіх . Вибірфункції коваріації, як згадує ОП, визначає матрицю коваріації, тобто

X (x_{1}, \dots, x_{p}) := (X (x_{1}), \dots, X (x_{p}))^{T} \sim N (0, Σ (x_{1}, \dots, x_{p}))

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$

x_{1}, \dots, x_{p} \in R

$x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$

Не враховуючи вибір

розподіл

буде Wishart

cov (X (x_{i}), X (x_{j})) = Σ (x_{1}, \dots, x_{p})_{i, j} = K (x_{i}, x_{j}) .

$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$

K

$K$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) X (x_{1}, \dots, x_{p})^{T}

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$

-розподіл.

W_{p} (Σ (x_{1}, \dots, x_{p}), 1)

$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$

— NRH
джерело

Дякуємо, що відповіли на це. У мене є кілька запитань, рег. Ваша відповідь - Коли ви кажете, що перетворення, яке перетворює Гаусса dist у Wishart dist, має місце для будь-якого вибору + визначеної матриці cov, які різні варіанти ми маємо для цієї матриці cov? Крім того, лише для уточнення - для матриці cov, визначеної функцією cov, i та j вказують елементи в оточуючому просторі Гауссового процесу (наприклад, якщо це тоді тимчасовий процес, моменти часу t_1 і t_2)?

— стійловий риб

i

$i$

j

$j$

x_{i}

$x_i$

x_{j}

$x_j$

Σ

$\Sigma$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

x^{T} x

$x^{T}x$

@steadyfish, о, бачу. Насправді, я був неохайний щодо транспозицій та того, чи були вектори векторами рядків чи стовпців. Я зробив це точно зараз і додав трохи про співвідношення між емпіричною матрицею коваріації та теоретичною матрицею коваріації. Теоретичне не визначається з точки зору спостережень.

— NRH