Питання про функцію автоковаріації зразка

Я читаю книгу аналізу часових рядів, а формула для автоковаріації зразків визначається в книзі як:

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\displaystyle\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

здля . - середнє значення. $\widehat{\gamma}(-h) = \widehat{\gamma}(h)\;$ $\;h = 0,1, ..., n-1$ $\bar{x}$

Чи може хтось інтуїтивно пояснити, чому ми ділимо суму на а не на ? У книзі пояснюється, що це тому, що формула вище є негативною визначеною функцією, тому віддається перевага на , але мені це не зрозуміло. Може хтось може це довести чи показати приклад чи щось таке? $n$ $n-h$ $n$

Для мене інтуїтивно спочатку було б ділити на . Це об'єктивний чи упереджений оцінювач автоковаріації? $n-h$

time-series probability mathematical-statistics

— jjepsuomi
джерело

Якщо ваш часовий ряд точно такий

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$ з усіма іншими

x_{i}

$x_i$ ,

i < 1

$i < 1$ або

i > n

$i >n$ будучи невідомим, тоді сума обов'язково повинна зупинитися на

t = n - h

$t=n-h$ коли

x_{t + h} = x_{n}

$x_{t+h}=x_n$ відбувається в сумі: наступний доданок (за

t = n - h + 1

$t=n-h+1$ ), які були б включені до суми

x_{n - h + 1 + h} = x_{n + 1}

$x_{n-h+1+h}=x_{n+1}$ в ній, і

x_{n + 1}

$x_{n+1}$ не є частиною вибірки.

— Діліп Сарват

@Dilip Я не думаю, що це проблема: питання стосується того, чи слід ділити на

n

$n$ або

n - h

$n-h$ у визначенні о

\hat{γ}

$\hat{\gamma}$ .

— whuber

$\widehat{\gamma}$ використовується для створення коваріаційних матриць: задано "разів" $t_1, t_2, \ldots, t_k$ , він оцінює, що коваріація випадкового вектора $X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_k}$ (отримана з випадкового поля в ті часи) є матрицею $\left(\widehat{\gamma}(t_i - t_j), 1 \le i, j \le k\right)$ . Для багатьох проблем, таких як прогнозування, важливо, щоб усі такі матриці були несинулярними. Як імовірні матриці коваріації, очевидно, вони не можуть мати жодних негативних власних значень, тому всі вони повинні бути визначеними позитивно.

Найпростіша ситуація, в якій розмежування двох формул

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

{\hat{γ}}_{0} (h) = (n - h)^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}_0(h) = (n-h)^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

З'являється, коли $x$ має довжину $2$ ; сказати, $x = (0,1)$ . Для $t_1=t$ і $t_2 = t+1$ просто обчислити

{\hat{γ}}_{0} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}),

$\widehat{\gamma}_0 = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array} \right),$

яке є одниною, тоді як

\hat{γ} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array})

$\widehat{\gamma} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array} \right)$

яка має власні значення $3/8$ і $1/8$ , звідки це позитивно-визначене.

Подібне явище трапляється і для $x = (0,1,0,1)$ , де $\widehat{\gamma}$ є позитивним, але визначеним $\widehat{\gamma}_0$ --при застосуванні до часів $t_i = (1,2,3,4)$ , скажімо - вироджується в матрицю рангу $1$ (його записи чергуються між собою $1/4$ і $-1/4$ ).

(Тут є закономірність: проблеми виникають для будь-якого $x$ форми $(a,b,a,b,\ldots,a,b)$ .)

У більшості застосувань ряд спостережень $x_t$ настільки довгий, що для більшості $h$ інтересів - яких набагато менше, ніж $n$ --різниця між $n^{-1}$ і $(n-h)^{-1}$ не має жодного наслідку. Тож на практиці відмінність не є великою справою, і теоретично потреба у позитивності визначена сильно перекриває будь-яке можливе прагнення до неупереджених оцінок.

— дзижчати
джерело

Я думаю, що важливо відзначити, що обидва оцінки є упередженими оцінками, навіть якщо ви поділите їх на nh.

— Побіг

@Ran Хоча ви правильні, що ці оцінки є упередженими, я не погоджуюся, що це важливе питання: як це було сказано в останньому абзаці, невелика кількість упередженостей - це найменша стурбованість. Незаангажований оцінювач, використовуючи

(n - h - 1)^{- 1}

$(n-h-1)^{-1}$ , мало чим відрізняється від

\hat{γ}

$\widehat{\gamma}$ або

{\hat{γ}}_{0}

$\widehat{\gamma}_0$ .

— whuber

Дуже приємна відповідь +1. Можливо, корисно додати пункт, що

V {\hat{γ}}_{0} (h) = O (1 / (n - h))

$\mathbb{V} \hat{\gamma}_0(h) = O(1/(n-h))$ , поки

V \hat{γ} (h) = O (1 / n)

$\mathbb{V} \hat{\gamma}(h) = O(1/n)$ , тому, коли

h

$h$ близький до

n

$n$ , оцінювач

{\hat{γ}}_{0} (h)

$\hat{\gamma}_0(h)$ може бути хаотичним, хоча

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$ матимуть рівномірно невеликі коливання вибірки

\forall h

$\forall h$ . See eg Priestly (1981) "Spectral Analysis and Time Series" p324 for a detailed discussion of this point

— Colin T Bowers