Яка статистика тесту в точному тесті Фішера?

Для таблиці на випадок 2 на 2 дехто сказав , що точний тест Фішера використовує підрахунок$X_{1,1}$у клітині (1,1) таблиці як тестова статистика, і за нульової гіпотези матиме гіпергеометричний розподіл.$X_{1,1}$

Дехто сказав, що його тестова статистика де - середнє значення гіпергеометричного розподілу (згадане вище) під нулем. Також було сказано, що значення р визначається на основі табеля гіпергометричного розподілу. Мені було цікаво, чи є якісь причини відняти середнє значення, а потім прийняти абсолютне значення? не має гіпергеометричного розподілу під нулем, чи не так?

(Щоб зробити наші уявлення трохи точнішими, назвемо "тестовою статистикою" розподіл того, що ми шукаємо, щоб фактично обчислити р-значення. Це означає, що для двосхилого t-тесту наша тестова статистика буде $|T|$ а не $T$.)

Тестова статистика полягає в тому, щоб спонукати впорядкування на вибірковому просторі (або, більш строго, часткове впорядкування), щоб можна було визначити крайні випадки (ті, які найбільш відповідають альтернативі).

У випадку точного тесту Фішера вже є впорядкування в певному сенсі - які ймовірності самих різних таблиць 2x2. Як це відбувається, вони відповідають наказу про$X_{1,1}$ в тому сенсі, що або найбільші, або найменші значення $X_{1,1}$є "крайніми", і вони також мають найменшу ймовірність. Отже, а не дивіться на значення$X_{1,1}$ у запропонованому вами способі можна просто працювати з великого та малого кінців, на кожному кроці додаючи будь-яке значення (найбільше чи найменше) $X_{1,1}$-значити, що вже не є) має найменшу ймовірність, пов'язану з нею, продовжуючи, поки ви не досягнете спостережуваної таблиці; при його включенні повна ймовірність всіх цих крайніх таблиць є р-значенням.

Ось приклад:

> data.frame(x=x,prob=dhyper(x,9,12,10),rank=rank(dhyper(x,9,12,10)))
   x         prob rank
1  0 1.871194e-04    2
2  1 5.613581e-03    4
3  2 5.052223e-02    6
4  3 1.886163e-01    8
5  4 3.300786e-01   10
6  5 2.829245e-01    9
7  6 1.178852e-01    7
8  7 2.245433e-02    5
9  8 1.684074e-03    3
10 9 3.402171e-05    1

Перша колонка є $X_{1,1}$ значення, другий стовпець - ймовірності, а третій стовпець - індуковане впорядкування.

Тож у конкретному випадку тестування Фішера точні ймовірності кожної таблиці (рівнозначно, кожної таблиці)$X_{1,1}$значення) можна вважати фактичною статистикою тесту .

Якщо ви порівняєте запропоновану статистику тесту $|X_{1,1}-\mu|$, це спонукає до того ж впорядкування в цьому випадку (і я вважаю, що це робиться в цілому, але я не перевіряв), оскільки великі значення цієї статистики є меншими значеннями ймовірності, тому це однаково можна вважати "статистичним" - але так могло б бути багато інших кількостей - справді будь-які, що зберігають цю впорядкованість$X_{1,1}$s у всіх випадках є еквівалентними тестовими статистичними даними, оскільки вони завжди дають однакові p-значення.

Також зауважте, що з більш точним поняттям "тестова статистика", запроваджене на початку, жодна з можливих статистичних даних тестів для цієї проблеми насправді не має гіпергеометричного розподілу; $X_{1,1}$так, але насправді це не є підходящою статистикою тесту для двох тестових тестів (якби ми робили однобічний тест, коли лише більше асоціації в основній діагоналі, а не у другій діагоналі вважалося б узгодженим з альтернативою, то це було б тестова статистика). Це якраз та сама проблема з однохвостими / двохвостими, з якої я почав.

[Редагувати: деякі програми представляють тестову статистику для тесту Фішера; Я припускаю, що це буде обчислення типу -2logL, яке було б асимптотично порівнянне з квадратним чі. Деякі можуть також представити коефіцієнт шансів або його журнал, але це не зовсім рівнозначно.]

$|X_{1,1} - \mu|$ не може мати гіпергеометричного розподілу взагалі тому, що $\mu$ не потрібно бути цілим значенням і тоді $|X_{1,1} - \mu|$не було б цілим числом. Але умовно на полях,$X_{1,1}$ матиме гіпергеометричний розподіл.

Якщо ви робите це правильно і фіксуєте поля до відомих значень, можете розглянути $X_{1,1}$(або будь-яку іншу клітинку) для вашої статистики. З аналогією малювання$k$ кульки з урни, що містять $W$ білі кульки та $B$ чорні кульки без заміни, $X_{1,1}$ можна інтерпретувати як кількість намальованих білих куль, де $B$ - сума першого ряду, $W$ - сума другого ряду, $k$ - це сума першого стовпця.

Насправді його немає. Статистика тестів - це історична аномалія - ​​єдина причина, за якою ми маємо тестову статистику, - це досягти р-значення. Точний тест Фішера проходить повз тестову статистику і переходить прямо до p-значення.