Примусовий набір чисел до гауссової кривої дзвону

( Це стосується мого питання програмування щодо переповнення стека : Алгоритм Гауссова крива Белла (Python та / або C #) .)

На Answers.com я знайшов такий простий приклад:

1. Знайдіть середнє арифметичне (середнє) => Сума всіх значень у множині, поділене на кількість елементів у множині
2. Знайдіть суму квадратів усіх значень у множині
3. Розділіть вихід (2) на кількість елементів у наборі
4. Віднімаємо середній квадрат (1) від результату (3)
5. Візьміть квадратний корінь результату (4)

Приклад: Встановити A = {1,3,4,5,7}

1. (1 + 3 + 4 + 5 + 7) / 5 = 4
2. (1 * 1 + 3 * 3 + 4 * 4 + 5 * 5 + 7 * 7) = 1 + 9 + 16 + 25 + 49 = 100
3. 100/5 = 20
4. 20 - 4 * 4 = 20-16 = 4
5. SQRT (4) = 2

(Це відбувається з публікації на wiki.answers.com .)

Тепер, з огляду на все це, як я можу встановити вищезазначені дані до кривої дзвіночки (наприклад, кредитна оцінка), яка становить від 200 до 800. Очевидно, що число 5 у вищевказаному наборі було б 500. Але тоді яка формула для визначення того, що 3 повинні бути в одній шкалі. Навіть незважаючи на те, що оригінальний набір A = {1,3,4,5,7} не є кривою дзвону, я хочу примусити його перетворитись у криву дзвону.

Уявіть, це десятки людей. Наступного місяця бали можуть змінитись так: Встановити A2={1,2,4,5,9}(один хлопець втрачає очко, а топ-хлопець набирає ще два бали - багаті збагачуються, а бідні бідніють). Тоді, можливо, в комплект входить новий хлопець: Набір A3={1,2,4,5,8,9}.

Масштабований діапазон , наприклад, від 200 до 800 (для SAT, наприклад ), - це лише зміна одиниць вимірювання . (Це працює так само, як і зміна температури за Фаренгейтом, ніж температура Цельсія.)

Середнє значення 500 призначене для відповідності середньому значенню даних. Діапазон призначений відповідати приблизно 99,7% даних, коли дані відповідають нормальному розподілу ("Крива дзвона"). Він гарантовано включити 8/9 даних ( нерівність Чебишева ).

У цьому випадку формула 1-5 обчислює стандартне відхилення даних. Це просто нова одиниця вимірювання для вихідних даних. Потрібно відповідати 100 одиницям у новій шкалі. Тому для перетворення вихідного значення в масштабоване значення,

• Віднімаємо середнє.

• Розділіть на стандартне відхилення.

• Помножте на 100.

• Додайте 500.

Якщо результат лежить поза діапазоном $[200, 800]$ ви можете або використовувати його як є, або "затиснути" його до діапазону, округлюючи до 200, до 800.

У прикладі , використовуючи дані$\{1,3,4,5,7\}$, в середньому є $4$ і SD є $2$. Тому після масштабування,$1$ стає $(1 - 4)/2 * 100 + 500 = 350$. Весь масштабований набір даних, обчислений аналогічно, є$\{350, 450, 500, 550, 650\}$.

Коли вихідні дані поширюються чітко ненормальним способом, потрібен інший підхід . Ви більше не обчислюєте середній або SD. Замість цього поставте всі бали в порядку, від 1-го (найменшого) до$n$го (найбільший). Це їхні ряди . Перетворити будь-який ранг$i$в його відсоток $(i-1/2)/n$. (У прикладі,$n=5$ і дані вже в ранговому порядку $i=1,2,3,4,5$. Тому їх відсотки є$1/10, 3/10, 5/10, 7/10, 9/10$, часто пишеться рівнозначно як $10\%, 30\%$і т.д.) Відповідає будь-якому відсотку (між $0$ і $1$, обов'язково) - це нормальний квантил . Він обчислюється з нормальною квантильною функцією , яка тісно пов'язана з функцією помилки . (Прості числові наближення є простими для коду.) Її значення, які, як правило, становитимуть від -3 до 3, повинні бути перераховані (як і раніше) до діапазону$[200, 800]$. Зробіть це, спочатку помноживши звичайний квантил на 100, а потім додавши 500.

Нормальна квантильна функція доступна в багатьох обчислювальних платформах, включаючи електронні таблиці (наприклад, норми Excel, Inv ). Наприклад, нормальні кванти (або "нормальні показники") для даних$\{1,3,4,5,7\}$ є $\{372, 448, 500, 552, 628\}$.

Цей підхід " нормального оцінювання " завжди дасть бали від 200 до 800, коли у вас є 370 або менше значень. Якщо у вас 1111 або менше значень, усі, крім найвищих і найнижчих, матимуть бали від 200 до 800.

Ви можете спробувати такий підхід - нормалізуйте свій набір даних для діапазону між значеннями -1 та +1 таким чином:

$$\left(\frac{\text{individual_value} - \text{min_of_all_values}}{\text{max_of_all_values} - \text{min_of-all_values}}-0.5\right)*2.$$ Це перетворить кожне значення у вашому наборі даних у значення від -1 до +1, при цьому фактичні максимальні та мінімальні значення будуть встановлені на +1 та -1 відповідно, а потім скинуть ці значення +1 та -1 у +0,9999 і -0,9999 (необхідні для наступних розрахунків.)

Потім застосуйте Трансформацію Фішера до кожного з перерахованих вище нормованих значень, щоб "примусити" його приблизно відповідати нормальному розподілу, а потім "ненормалізувати" кожне з цих значень Трансформації Фішера для діапазону значень між 200 і 800 таким чином:

$$\frac{\text{Fish_value} - \text{min_all_Fish_values}}{\text{max_all_Fish_values} - \text{min_all_Fish_values}}*600 + 200$$ Максимальне значення Fisher Transform буде встановлено рівно 800, мінімальне значення Fisher Transform буде встановлено рівно 200, а всі інші значення будуть лежати між цими двома крайнощами, відповідно до приблизного нормального розподілу.

Посилаючись на своє початкове запитання про SO та питання масштабованості, перевагою цього підходу є те, що за умови, що будь-яка нова точка даних сама по собі не є новим максимумом або мінімумом для набору даних у цілому, ви можете застосувати вищезазначені обчислення до нової точки даних щоб отримати його бал від 200 до 800, не зачіпаючи жодного з існуючих балів оригінального набору даних. Якщо нова точка даних - це новий максимум або мінімум, вам доведеться перерахувати бали за весь набір даних за допомогою цього нового «нормалізуючого» максимального або мінімального значення.