Як порівняти два нахили регресії для одного прогноктора за двома різними результатами?

Мені потрібно порівняти два регресійні схили, де:

$
y_1 ~ a + b_1x
y_2 ~ a + b_2x
$

Як я можу порівняти b1 і b2?

Або мовою мого конкретного прикладу у гризунів я хочу порівняти

antero-posterior diameter ~  a + b1 * humeral length   
de naso-occipital length  ~  a + b2 * humeral length 

Гаразд, давайте розглянемо вашу ситуацію. У вас в основному дві регресії (APD = передньозадній діаметр, NOL = носо-потилична довжина, HL = плечова довжина):

1. $APD=\beta_{0,1} + \beta_{1,1}\cdot NOL$
2. $HL=\beta_{0,2} + \beta_{1,2}\cdot NOL$

Щоб перевірити гіпотезу , ви можете зробити наступне:$\beta_{1,1}=\beta_{1,2}$

1. Створіть нову залежну змінну ( ), просто додавши APD до HL$Y_{new}$
2. Створіть нову незалежну змінну, додавши до себе NOL ( ) (тобто дублюючи NOL)$X_{new}$
3. Створіть фіктивну змінну ( ), яка дорівнює 1, якщо дані надходили з другого набору даних (з HL) та 0, якщо дані надходили з першого набору даних (APD).$D$
4. Обчисліть регресію з як залежної змінної, а основні ефекти та взаємодію між і фіксованою змінною як пояснювальні змінні. EDIT @Jake Westfall вказував, що залишкова стандартна помилка може бути різною для двох регресій для кожного DV. Джейк дав відповідь, яка повинна відповідати узагальненій моделі найменших квадратів (GLS), яка дозволяє залишкової стандартної помилки відрізнятися між двома регресіями. X n e w$Y_{new}$$X_{new}$$D$

Давайте розглянемо приклад зі складеними даними (в R):

# Create artificial data

library(nlme) # needed for the generalized least squares

set.seed(1500)

NOL <- rnorm(10000,100,12)
APD <- 10 + 15*NOL+ rnorm(10000,0,2)
HL <- - 2  - 5*NOL+ rnorm(10000,0,3) 

mod1 <- lm(APD~NOL)
mod1

Coefficients:
(Intercept)          NOL
      10.11        15.00

mod2 <- lm(HL~NOL)
mod2

Coefficients:
(Intercept)          NOL
      -1.96        -5.00

# Combine the dependent variables and duplicate the independent variable

y.new <- c(APD, HL)
x.new <- c(NOL, NOL)

# Create a dummy variable that is 0 if the data are from the first data set (APD) and 1 if they are from the second dataset (HL)

dummy.var <- c(rep(0, length(APD)), rep(1, length(HL)))

# Generalized least squares model allowing for differend residual SDs for each regression (strata of dummy.var)

gls.mod3 <- gls(y.new~x.new*dummy.var, weights=varIdent(form=~1|dummy.var))

Variance function:
 Structure: Different standard deviations per stratum
 Formula: ~1 | dummy.var 
 Parameter estimates:
       0        1 
1.000000 1.481274 

Coefficients:
                    Value  Std.Error   t-value p-value
(Intercept)      10.10886 0.17049120    59.293       0
x.new            14.99877 0.00169164  8866.430       0
dummy.var       -12.06858 0.30470618   -39.607       0
x.new:dummy.var -19.99917 0.00302333 -6614.939       0

$X_{new}$dummy.varx.new:dummy.var$\beta_{x.new} - \beta_{x.new\times dummy.var}$$15-20=-5$$20$

Попередження: Це працює лише в тому випадку, якщо передньозадній діаметр і довжина носо-потиличної довжини (дві залежні змінні) незалежні. Інакше це може стати дуже складним.

EDIT

Ці два повідомлення на сайті стосуються одного і того ж питання: Перше і друге .