Чи може лемма Неймана-Пірсона застосувати до випадку, коли прості нульові та альтернативні не належать до одного сімейства розподілів?

Чи може лемма Неймана-Пірсона застосувати до випадку, коли проста нуль та проста альтернатива не належать до одного сімейства розподілів? З його доказів я не бачу, чому він не може.

Наприклад, коли простий нуль є нормальним розподілом, а проста альтернатива - експоненціальним розподілом.
Чи є тест коефіцієнта ймовірності хорошим способом перевірити складений нуль проти складеної альтернативи, коли обидва належать до різних сімейств розподілів?

Дякую та з повагою!

hypothesis-testing mathematical-statistics

— Тім
джерело

Тепер це гарне питання.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Як ви говорите в запитанні, доказ не передбачає припущень щодо форми двох розподілів. Довіряйте математиці.

— Циан

@Cyan: Чи є тест імовірності хорошим способом для складеної нульової та складної альтернативи, що належать до різних сімейств розподілів?

— Тім

Щоб уточнити свій попередній коментар: я часто бачу людей, які говорять "ні" - це, мабуть, навіть у документах : - "[Тести ймовірності коефіцієнта ймовірності] ... не можна використовувати для висновку про функціональну форму розподілу даних. " Було б добре, якби подібні твердження не так часто залишалися без відповіді.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Це не-питання , тому що будь-які два різних розподілів

є частиною безперервного однопараметричного сімейства

F

$F$

G

$G$

{p F + (1 - p) G},

$\{pF + (1-p)G\},$

0 \leq p \leq 1

$0\le p \le 1$

— whuber

Відповіді:

Так, лейма Неймана Пірсона може застосовуватися до випадку, коли проста нульова та проста альтернатива не належать до одного сімейства розповсюджень.

Давайте хочемо побудувати найпотужніший (MP) тест проти його розміру. $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$

Для конкретного нашою критичною функцією є лема Неймана Пірсона $k$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} > k \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

є MP тест проти $H_0$ його розміру. $H_1$

Тут

r (x) = \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} = \frac{e^{- x}}{\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}} = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)}

$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$

Зауважимо, що Тепер, якщо ви малюєте зображення[я не знаю, як побудувати малюнок у відповідь], з графіка буде зрозуміло, що

r^{'} (x) = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)} (x - 1) {\begin{cases} < 0, & x < 1 \\ > 0, & x > 1 \end{cases}

$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$

r (x)

$r(x)$

r (x) > k ⟹ x > c

$r(x)>k \implies x>c$

Отже, для учасника є MP тест проти його розміру. $c$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & x > c \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

H_{o}

$H_o$

H_{1}

$H_1$

Ви можете протестувати

1. проти $H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
2. проти $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
3. проти $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

За лемою Неймана Пірсона.

Зазвичай тест на вірогідність (LRT) не є хорошим способом для складеної нульової та складної альтернативи, що належать до різних сімейств розподілів. LRT особливо корисний, коли $\mathbb{\theta}$ є багатопараметричним, і ми хочемо перевірити гіпотезу щодо одного з параметрів .

Це все від мене.

— AD
джерело

Q2. Коефіцієнт ймовірності є досить розумною тестовою статистикою, але (а) лема Неймана-Пірсона не застосовується до складених гіпотез, тому LRT не обов'язково буде найпотужнішим; & (b) Теорема Вілкса застосовується лише до вкладених гіпотез, тому, якщо одна сім'я не є особливим випадком іншої (наприклад, експоненціальна / Вейбул, Пуассон / негативний двочлен), ви не знаєте розподілу коефіцієнта ймовірності під нуль, навіть асимптотично.

— Скорчі - Відновлення Моніки
джерело

"... ви не знаєте розподілу коефіцієнта ймовірності під нуль, навіть асимптотично." Це не така велика стурбованість у світі, де можна зашифрувати симуляцію під нуль менш ніж за 20 рядків Р.

— Сіан

@Cyan: Написання цих 20 рядків, можливо, зажадає певної думки. Майте на увазі, що це складна нуль, загалом у нас не буде поворотів, і я не думаю, що LR обов'язково буде приблизним стрибком. Я думаю, ви могли б студентизувати LR ...

— Scortchi - Відновіть Моніку

$\alpha$ $\phi$ $\phi$ $\alpha^\mathrm{th}$ $H_0$ $H_1$ . Лема Неймана-Пірсона демонструє, що ця статистика є співвідношенням ймовірності.
У оригінальному документі Neyman & Pearson також обговорюються складені гіпотези. У деяких випадках відповідь однозначна - якщо є вибір конкретних розподілів у кожній сім'ї, коефіцієнт вірогідності яких консервативний, коли застосовується вся сім'я. Ось що часто трапляється, наприклад, для вкладених гіпотез. Хоча цього не сталося, хоча; У цьому документі Кокс розповідає, що робити далі. Я думаю, що більш сучасним підходом було б підходити до нього байєсівським шляхом, ставлячи пріорів над двома родинами.

— петрельхарп
джерело

Велика довідка там - папір Кокса.

— Scortchi