Введення попереднього параметра концентрації в процесі Діріхле

Більшість цього є фоном, до кінця пропустіть, якщо ви вже знаєте достатньо про технологічні суміші Діріхле . Припустимо , я моделюючи деякі дані приходять з суміші процесів Діріхле, тобто нехай і зумовлюють припустимо$F \sim \mathcal D(\alpha H)$$F$

$$Y_i \stackrel {iid}{\sim} \int f(y | \theta) F(d\theta).$$

Тут і є попередньою базовою мірою. Виявляється, якщо для кожного спостереження , якщо я знаю пов'язаний з ним прихований , ймовірність у цій моделі дорівнює де - кількість чітких значень (випадкова міра дискретна майже напевно). Ескобар і Вест розробляють наступну схему відбору проб використанням попереднього Gamma; по-перше, вони пишуть$\alpha > 0$$\alpha H$$Y_i$$\theta_i$$\alpha$

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)}$$ $t$$\theta_i$$F$$\alpha$ $$\pi(\alpha | t) \propto \pi(\alpha) \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} \propto \pi(\alpha)\alpha^{t - 1}(\alpha + n){B(\alpha + 1, n)} \\= \pi(\alpha)\alpha^{t - 1} (\alpha + n) \int_0^1 x^\alpha(1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ де - бета-функція. Потім зауважте, що якщо ми введемо прихований параметр то ймовірність має вигляд суміші розподілів Gamma і використовуємо це для запису пробника Гіббса.$B(\cdot, \cdot)$$X \sim \mbox{Beta}(\alpha + 1, n )$

Тепер моє запитання. Чому ми не можемо просто написати а замість суміші розподілів Gamma використовуйте єдиний розподіл Gamma? Якщо ми запровадимо чи не можу я зробити те саме, але без використання суміші?

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t \Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{\alpha^t \Gamma(n)\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)\Gamma(n)} = \alpha^t B(\alpha, n) \Gamma(n) \\ \propto \alpha^t \int_0 ^ 1 x^{\alpha - 1} (1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ $X \sim \mbox{Beta}(\alpha, n)$

Редагуйте для отримання більш детальної інформації Детальніше: Щоб заповнити деякі прогалини, аргумент в Ескобарі та Заході полягає в тому, що, дозволяючи мати розподіл Gamma з формою і означає , і тому ми можемо ввести прихованого так щоПовні умови - це розподіл для та суміш та a$\alpha$$a$$a / b$

$$\pi(\alpha | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha} \int_0 ^ 1 x^{\alpha} (1 - x)^{n - 1} \ dx$$ $X$ $$\pi(\alpha, x | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha}x^{\alpha}(1 - x)^{n - 1}.$$ $\mbox{Beta}(\alpha + 1, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\mathcal G(a + t - 1, b - \log(x))$ для .$\alpha$

За тим самим аргументом я отримав той самий результат, але з для та для . Мені це здається легше; чому вони просто не роблять цього?$\mbox{Beta}(\alpha, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\alpha$

Я не бачу, як те, що ви написали, принципово відрізняється від Ескобара та Заходу.

$$\begin{eqnarray*} \pi(\alpha|t) &\propto& \pi(\alpha)\pi(t|\alpha) = \pi(\alpha)L(\alpha|t) \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^tB(\alpha,n) \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^{t-1}(\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ де другий до останнього рядка - як у вас є, а останній - як E&W це і вони рівні, оскільки n) \ end {eqnarray *} нагадуючи про це $$\begin{eqnarray*} \alpha B(\alpha,n) &=& \alpha \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{(\alpha\Gamma(\alpha))\Gamma(n)(\alpha+n)}{(\Gamma(\alpha + n)(\alpha+n))} = (\alpha+n) \frac{\Gamma(\alpha + 1)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n + 1)} \\ &=& (\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ .

Я здогадуюсь, що вони віддали перевагу їх формулюванню над вашою, оскільки вона містить лише функцію бета-функції, а не продукт бета і гами, але я можу помилитися. Я не зовсім дотримувався останнього написаного вами біта, чи можете ви бути більш чіткими щодо вашої схеми вибірки?