Чому контроль FDR менш жорсткий, ніж контроль FWER?

Я читав, що керування FDR менш жорстке, ніж контроль над FWER, як, наприклад, у Вікіпедії :

Процедури контролю FDR здійснюють менш жорсткий контроль над помилковим виявленням порівняно з процедурами помилок у сімейному режимі (FWER) (наприклад, виправлення Бонферроні). Це збільшує потужність за рахунок збільшення швидкості помилок типу I, тобто відкидання нульової гіпотези про відсутність ефекту, коли її слід прийняти.

Але мені було цікаво, як це відображається як істинно математично?

Чи існує якийсь зв’язок між FDR та FWER?

hypothesis-testing multiple-comparisons false-discovery-rate

— StackExchange для всіх
джерело

Чи читали ви оригінальний папір? Це найбільше все, на що можна сподіватися у статистичному документі: Єдина фундаментальна ідея, чітка і коротка розповідь, корисний приклад та (короткі!) Точні докази.

— кардинал

Дійсно, @cardinal цілком вірно, що папір є такою ж чистою, як і виходить. Отже, для чого це варто, якщо ви не маєте доступу до паперу, ось дещо розроблена версія того, як стверджують Бенджаміні – Хохберг:

FDR - очікуване значення частки помилкових відхилень для всіх відхилень . Тепер, , очевидно, сума помилкових і правильних відхилень; викликати останній . $Q_e$ $v$ $r$ $r$ $s$

Підсумовуючи, (використовуючи великі літери для випадкових змінних і малі літери для реалізованих значень),

Q_{e} = E (\frac{V}{R}) = E (\frac{V}{V + S}) =: E (Q) .

$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$

Один приймає якщо . $Q=0$ $R=0$

Тепер є дві можливості: або всі нулі істинні, або просто з них істинні. У першому випадку не може бути правильних відхилень, тому . Таким чином, якщо є якісь відхилення ( ), , інакше . Отже, $m$ $m_0<m$ $r=v$ $r\geq 1$ $q=1$ $q=0$

F D R = E (Q) = 1 \cdot P (Q = 1) + 0 \cdot P (Q = 0) = P (Q = 1) = P (V \geq 1) = F W E R

$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$

Отже, в цьому випадку така, що будь-яка процедура, яка керує тривіально, також контролює і навпаки. $\FDR=\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

У другому випадку, коли , якщо (тож якщо є принаймні одне помилкове відхилення), ми, очевидно, маємо (це дроби з також в знаменнику), що . Це означає , що функція індикатора , який приймає значення 1 , якщо існує, принаймні , одне хибне відторгнення, ніколи не буде менше , ніж , . Тепер візьмемо очікування по обидві сторони від нерівності, яка монотонністю залишає нерівність недоторканою, $m_0<m$ $v>0$ $v$ $v/r\leq 1$ $\mathbf 1_{V\geq 1}$ $Q$ $\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$ $E$

Е (1_{V \geq 1}) \geq Е (Q) = Ж D R

$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$

Очікуване значення функції індикатора, що є ймовірністю події в індикаторі, маємо , що знову ж є . $E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$ $\FWER$

Таким чином, коли у нас є процедура, яка керує в тому сенсі, що , ми повинні мати це . $\FWER$ $\FWER\leq \alpha$ $\FDR\leq\alpha$

І навпаки, управління у деяких може бути значно більшим . Інтуїтивно зрозуміле, що прийняття ненульової очікуваної частки помилкових відхилень ( ) з потенційно великої сукупності перевірених гіпотез може означати дуже високу ймовірність принаймні одного помилкового відхилення ( ). $\FDR$ $\alpha$ $\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

Отже, процедура повинна бути менш суворою, коли бажано лише керування , що також добре для влади. Це та сама ідея, що і в будь-якому базовому тесті на гіпотезу: при тестуванні на рівні 5% ви відхиляєте частіше (як правильні, так і помилкові нулі), ніж при тестуванні на рівні 1% просто тому, що у вас є менше критичне значення. $\FDR$

— Крістоф Ганк
джерело

(+1) Гарна експозиція. Очевидно, що в першому випадку ми можемо також сказати, що управління FWER має на увазі контроль FDR (про що йде мова). Також, можливо, варто зазначити, що ця властивість не має припущень щодо розподілу (наприклад, незалежність) щодо тестової статистики, на відміну від процедури, наведеної в оригінальному документі для контролю FDR.

— кардинал