Інтуїція до функції накопичувальної небезпеки (аналіз виживання)

Я намагаюся отримати інтуїцію щодо кожної з основних функцій в актуарній науці (спеціально для моделі пропорційних ризиків Кокса). Ось що я маю досі:

• $f(x)$ : починаючи з часу початку, розподілу ймовірності, коли ви помрете.
• $F(x)$ : просто кумулятивний розподіл. На час$T$ , який відсоток населення буде мертвим?
• $S(x)$ :$1-F(x)$ . На час$T$ , який відсоток населення буде живий?
• $h(x)$ : небезпечна функція. За певний час$T$ з людей, які ще живуть, це може бути використане для оцінки кількості людей, які помруть у наступний часовий проміжок, або якщо інтервал -> 0, "швидка" ймовірність смерті.
• $H(x)$ : накопичувальна небезпека. Не маю уявлення.

Яка ідея поєднання значень небезпеки, особливо коли вони безперервні? Якщо ми використовуємо дискретний приклад зі смертністю протягом чотирьох сезонів, а функція небезпеки полягає в наступному:

• Починаючи з весни, всі живі, і 20% помре
• Зараз влітку з тих, хто залишився, 50% помре
• Зараз восени з тих, хто залишився, 75% загинуть
• Заключний сезон - зима. З тих, хто залишився, 100% загинуть

Тоді кумулятивна небезпека становить 20%, 70%, 145%, 245% ?? Що це означає, і чому це корисно?

Поєднання пропорцій, що помирають так само, як ви робите, не становить для вас накопичувальної небезпеки. Коефіцієнт небезпеки в постійному часі - це умовна ймовірність того, що протягом дуже короткого проміжку часу відбудеться подія:

Накопичувальна небезпека інтегрує (миттєву) ступінь небезпеки за віком / часом. Це як підбиття підсумків ймовірностей, але оскільки дуже мало, ці ймовірності також є невеликими числами (наприклад, рівень небезпеки вмирання може бути приблизно 0,004 у віці близько 30). Коефіцієнт небезпеки залежить від того, що ви не пережили події до t , тому для населення вона може становити більше 1.$\Delta t$$t$

Ви можете подивитися якусь таблицю життєвої смертності людини, хоча це дискретна формулювання часу, і спробувати накопичити .$m_x$

Якщо ви використовуєте R, ось невеликий приклад наближення цих функцій до кількості смертей на кожному віковому інтервалі 1-го року:

dx <-  c(3184L, 268L, 145L, 81L, 64L, 81L, 101L, 50L, 72L, 76L, 50L, 
         62L, 65L, 95L, 86L, 120L, 86L, 110L, 144L, 147L, 206L, 244L, 
         175L, 227L, 182L, 227L, 205L, 196L, 202L, 154L, 218L, 279L, 193L, 
         223L, 227L, 300L, 226L, 256L, 259L, 282L, 303L, 373L, 412L, 297L, 
         436L, 402L, 356L, 485L, 495L, 597L, 645L, 535L, 646L, 851L, 689L, 
         823L, 927L, 878L, 1036L, 1070L, 971L, 1225L, 1298L, 1539L, 1544L, 
         1673L, 1700L, 1909L, 2253L, 2388L, 2578L, 2353L, 2824L, 2909L, 
         2994L, 2970L, 2929L, 3401L, 3267L, 3411L, 3532L, 3090L, 3163L, 
         3060L, 2870L, 2650L, 2405L, 2143L, 1872L, 1601L, 1340L, 1095L, 
         872L, 677L, 512L, 376L, 268L, 186L, 125L, 81L, 51L, 31L, 18L, 
         11L, 6L, 3L, 2L)

x <- 0:(length(dx)-1) # age vector

plot((dx/sum(dx))/(1-cumsum(dx/sum(dx))), t="l", xlab="age", ylab="h(t)", 
     main="h(t)", log="y")
plot(cumsum((dx/sum(dx))/(1-cumsum(dx/sum(dx)))), t="l", xlab="age", ylab="H(t)", 
     main="H(t)")

Сподіваюсь, це допомагає.

У книзі "Вступ до аналізу виживання за допомогою статистики" (2-е видання) Маріо Клівса є хороша глава на цю тему.

Ви можете знайти розділ про книги Google , стор. 13-15. Але я б порадив прочитати всю главу 2.

Ось коротка форма:

• "він вимірює загальну кількість ризику, накопиченого до часу t" (стор. 8)
• Порахуйте інтерпретацію даних: "це дає кількість разів, коли ми би очікували (математично) спостереження за помилками [або іншими подіями] протягом заданого періоду, якби тільки подія відмови була повторюваною" (стор. 13)

Я б _{^{небезпечно}} здогадатися, що це заслуговує уваги завдяки використанню в діагностичних діаграмах:

$h(x)=\mathrm{e}^{\beta^\mathrm{T} z}h_0(x)$$\beta$$z$$h_0(x)$$\log H(x)=\beta^\mathrm{T} z + H_0(x)$$\log \hat{H}(x)$$x$

$h(x)=\frac{\alpha}{\theta}\left(\frac{x}{\theta}\right)^{\alpha-1}$$\theta$$\alpha$$\log H(x) = \alpha \log x - \alpha \log \theta$$\log \hat{H}(x)$$\log x$$\hat{\alpha}$$-\hat{\alpha}\log\hat{\theta}$, за умови правильного припущення Вейбулла. І звичайно, нахил, близький до 1, говорить про те, що експоненціальна модель може відповідати.

$H(x)$$x$

Перефразовуючи те, що говорить @Scortchi, я підкреслив би, що функція накопичувальної небезпеки не має приємної інтерпретації, і як такий я б не намагався використовувати її як спосіб інтерпретації результатів; сказати нестатистичному досліднику, що сукупні небезпеки різні, швидше за все, це призведе до відповіді "мм-хм", і тоді вони більше ніколи не запитуватимуть про цю тему, і не вдалим чином.

Однак накопичувальна небезпечна функція виявляється дуже корисною математично, наприклад, загальним способом зв’язку функції небезпеки та функції виживання. Тому важливо знати, що таке кумулятивна небезпека та як її можна використовувати в різних статистичних методах. Але загалом, я не думаю, що особливо корисно думати про реальні дані з точки зору накопичувальної небезпеки.