Чому дорівнює нулю ймовірності для будь-якого заданого значення нормального розподілу?

Я помітив, що в нормальному розподілі ймовірність дорівнює нулю, тоді як для розподілу Пуассона він не дорівнює нулю, коли - негативне ціле число. $P(x=c)$ $c$

Моє запитання: чи вірогідна будь-яка константа в нормальному розподілі рівна нулю, оскільки вона представляє площу під будь-якою кривою? Або це лише лише правило запам’ятовування?

probability normal-distribution poisson-distribution

— Психо 4 Фізика
джерело

безперервний розподіл проти дискретних

— Glen_b -Встановити Моніку

Дуже тісно пов'язані (трохи інше питання, по суті однакова відповідь): stats.stackexchange.com/questions/4220 .

— whuber

Нічого, чого варто знати, - це лише "правило запам'ятовування".

— Меттью Друрі

Можливо, наступний роздум-експеримент допоможе вам краще зрозуміти, чому ймовірність дорівнює нулю при безперервному розподілі: Уявіть, що у вас є колесо фортуни . Зазвичай колесо розділяється на кілька дискретних секторів, можливо, 20 або близько того. Якщо всі сектори мають однакову площу, ви б ймовірність , щоб вдарити одного конкретного сектора (наприклад , ціни). Сума всіх ймовірностей дорівнює 1, так як . Більш загальне: Якщо є $Pr(X=a)$ $1/20$ $20\cdot 1/20 = 1$ $m$ сектори, рівномірно розподілені на колесі, кожен сектор має ймовірність ураження (рівномірні ймовірності). Але що станеться, якщо ми вирішили розділити колесо на мільйон секторів. Тепер ймовірність попадання одного конкретних секторів (головний приз), вкрай мала: $1/m$ $1/10^{6}$ . Далі зауважте, що вказівник теоретично може зупинитися у нескінченній кількості положень колеса. Якби ми хотіли зробити окремий приз за кожен можливий пункт зупинки, нам би довелося розділити колесо на нескінченну кількість "секторів" однакової площі (але кожен з них мав би площу 0). Але яку вірогідність нам слід віднести до кожного з цих «секторів»? Він повинен бути нульовимадже якщо ймовірності для кожного "сектора" були б позитивними та рівними, сума нескінченно багатьох рівних додатних чисел розходиться, що створює протиріччя (загальна ймовірність повинна бути 1). Тому ми можемо лише призначити ймовірність інтервалу , реальній області на колесі.

Більш технічний: У безперервному розподілі (наприклад, безперервний рівномірний , нормальний та інші ) ймовірність обчислюється інтеграцією, як площа під функцією густини ймовірностей (з ): Але площа інтервалу довжиною 0 дорівнює 0. $f(x)$ $a\leq b$

П (а \leq Х \leq б) = \int_{а}^{б} f (х) г х

$P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Дивіться цей документ для аналогії колеса фортуни.

З іншого боку, розподіл Пуассона - дискретний розподіл ймовірностей. Випадкова змінна Пуассона може приймати лише дискретні значення (тобто кількість дітей для однієї сім'ї не може бути 1,25). Ймовірність того, що в сім'ї є рівно 1 дитина, звичайно, не дорівнює нулю, але є позитивною. Сума всіх ймовірностей для всіх значень повинна бути 1. Іншими відомими дискретними розподілами є: Біноміальний , негативний двочленний , геометричний , гіпергеометричний та багато інших .

— COOLSerdash
джерело

Цей аргумент не вдається у вирішальний момент: не завжди буває так, що "сума нескінченного числа додатних чисел нескінченна". Послідовність ймовірностей Пуассона - це контрприклад! Ви можете виправити це за допомогою відповідної кваліфікації, наприклад, вказавши, що сума нескінченно багато позитивних чисел, незалежно від того, наскільки вони невеликі, відрізняється.

— whuber

@whuber Я думаю, що це я мав на увазі, коли писав відповідь, але не зміг її сформулювати належним чином. Дякую за голову вгору Я сподіваюся, що це зараз правильно.

— COOLSerdash

1

$1$

@whuber Тепер я розгублений. Саме таку формулювання, яку ви запропонували, я додаю у своєму першому коментарі: "[...], наприклад, вказуючи на те, що сума нескінченно багато позитивних чисел, незалежно від того, якою вони малими вони будуть, розходиться"

— COOLSerdash

@whuber Правильно, тепер це повністю зрозуміло. Я додав кваліфікацію до своєї відповіді. Ще раз дякую, що вказали на це.

— COOLSerdash

"Ймовірності безперервних випадкових змінних (X) визначаються як область під кривою його PDF. Таким чином, лише діапазони значень можуть мати ненульову ймовірність. Імовірність того, що безперервна випадкова величина дорівнює деякому значенню, завжди дорівнює нулю." довідкова сторінка: http://support.minitab.com/en-us/minitab-express/1/help-and-how-to/basic-statistics/probability-distributions/supporting-topics/basics/continuous-and-discrete -проблеми-розподіли /

— Руй ХУАНГ
джерело