Упередження оцінок максимальної ймовірності для логістичної регресії

Я хотів би зрозуміти пару фактів щодо максимальної оцінки ймовірності (MLE) для логістичних регресій.

Чи правда, що загалом MLE для логістичної регресії є упередженим? Я б сказав «так». Я знаю, наприклад, що розмір вибірки пов'язаний з асимптотичним зміщенням MLE.

Чи знаєте ви якісь елементарні приклади цього явища?
Якщо MLE упереджений, чи правда, що матриця коваріації MLE є оберненою від гессіана функції максимальної ймовірності?

редагувати : я зустрічався з цією формулою досить часто і без жодних доказів; мені здається досить довільним вибором.

Розглянемо просту модель бінарної логістичної регресії з бінарною залежною змінною та лише постійною та двійковим регресором $T$ .

Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1) = Λ (α + β T_{i})

$\Pr(Y_i=1\mid T_i=1) = \Lambda (\alpha + \beta T_i)$ де - логістичний cdf, .

Λ

$\Lambda$

Λ (u) = {[1 + \exp {- u}]}^{- 1}

$\Lambda(u) = \left[1+\exp\{-u\}\right]^{-1}$

У формі Logit у нас є

\ln (\frac{Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1)}{1 - Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1)}) = α + β T_{i}

$\ln \left(\frac{\Pr(Y_i=1\mid T_i=1)}{1-\Pr(Y_i=1\mid T_i=1)}\right) = \alpha + \beta T_i$

У вас є зразок розміру . Позначимо кількість спостережень, де і ті, де , а . Розглянемо наступні розрахункові умовні ймовірності: $n$ $n_1$ $T_i=1$ $n_0$ $T_i=0$ $n_1+n_0=n$

\hat{Pr} (Y = 1 ∣ T = 1) \equiv {\hat{P}}_{1 | 1} = \frac{1}{n_{1}} \sum_{T_{i} = 1} y_{i}

$\hat \Pr(Y=1\mid T=1)\equiv \hat P_{1|1} = \frac 1{n_1}\sum_{T_i=1}y_i$

\hat{Pr} (Y = 1 ∣ T = 0) \equiv {\hat{P}}_{1 | 0} = \frac{1}{n_{0}} \sum_{T_{i} = 0} y_{i}

$\hat \Pr(Y=1\mid T=0)\equiv \hat P_{1|0} = \frac 1{n_0}\sum_{T_i=0}y_i$

Тоді ця сама основна модель забезпечує рішення закритого формату для оцінювача ML:

\hat{α} = \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}}), \hat{β} = \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 1}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 1}}) - \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}})

$\hat \alpha = \ln\left(\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right),\qquad \hat \beta = \ln\left(\frac{\hat P_{1|1}}{1-\hat P_{1|1}}\right)-\ln\left(\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right)$

БІАС

Хоча і є неупередженими оцінками відповідних ймовірностей, MLE є упередженими, оскільки нелінійна логарифмічна функція стає на шляху - уявіть, що відбувається з більш складними моделями , з більш високим ступенем нелінійності. $\hat P_{1|1}$ $\hat P_{1|0}$

Але, як асимптотично, зміщення зникає, оскільки оцінки ймовірності послідовні. Вставляючи безпосередньо оператор всередині очікуваного значення та логарифму, у нас є $\lim$

lim_{n \to \infty} E [\hat{α}] = E [\ln (lim_{n \to \infty} \frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}})] = E [\ln (\frac{P_{1 | 0}}{1 - P_{1 | 0}})] = α

$\lim_{n\rightarrow \infty}E[\hat \alpha] = E\left[\ln\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right)\right] = E\left[\ln\left(\frac{P_{1|0}}{1-P_{1|0}}\right)\right] =\alpha$

і аналогічно для . $\beta$

МАРТІЯ ВАРІАНСНО-ПОКРИТТЬОГО МЛЕ
У вищенаведеному простому випадку, який забезпечує вирази закритої форми для оцінювача, можна, принаймні в принципі, продовжувати та отримувати його точний розподіл кінцевих вибірок, а потім обчислювати його точну кінцеву дисперсію-коваріантну матрицю вибірки . Але загалом MLE не має рішення закритої форми. Тоді ми вдаємось до послідовної оцінки асимптотичної матриці дисперсії-коваріації, яка справді (від'ємна) зворотна Гессі функція вірогідності журналу вибірки, оцінена в MLE. І тут взагалі немає "довільного вибору", але це є результатом асимптотичної теорії та асимптотичних властивостей MLE (послідовність та асимптотична нормальність), що говорить нам про те, що для , $\theta_0 = (\alpha, \beta)$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to_{d} N (0, - (E [H])^{- 1})

${\sqrt n}(\hat \theta-\theta_0)\rightarrow_d N\left(0, -(E[H])^{-1}\right)$

де - гессієць. Приблизно і для (великих) кінцевих зразків це призводить нас до $H$

Var (\hat{θ}) \approx - \frac{1}{n} (E [H])^{- 1} \approx - \frac{1}{n} {(\frac{1}{n} \hat{H})}^{- 1} = - {\hat{H}}^{- 1}

$\operatorname{Var}(\hat \theta) \approx -\frac 1n(E[H])^{-1}\approx -\frac 1n\left(\frac 1n\hat H\right)^{-1}=-\hat H^{-1}$

— Алекос Пападопулос
джерело