Нульова гіпотеза еквівалентності

Припустимо, - простий випадковий вибірки з нормального розподілу. $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ $(\mu,\sigma^2)$

Мені цікаво зробити наступний тест на гіпотезу: для заданої постійної .

H_{0} : | μ | \leq c H_{1} : | μ | > c,

$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$

c > 0

$c > 0$

Я думав про те, щоб виконати два односторонні -тести (TOST) аналогічно звичайній ситуації тестування на біоеквівалентність, де нуль і є замість цього, але я не знаю, чи це має сенс чи правильно. $t$ $|\mu| \ge c$

Моя ідея - виконати односторонні тести та і відхилити глобальну нульову гіпотезу, якщо одне з -значень менше рівня значущості .

H_{01} : μ \leq c H_{11} : μ > c

$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$

H_{02} : μ \geq - c H_{12} : μ < - c,

$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$

p

$p$

α

$\alpha$

Спасибі заздалегідь!

Редагувати:

Я трохи думав про це, і думаю, що запропонований мною підхід не має рівня значущості . $\alpha$

Припустимо, що справжнє значення є і відомо. $\mu$ $\mu_0$ $\sigma^2$

Імовірність відхилення нуля в першому тесті - де якщо стандартний cdf звичайного розподілу, а - таке значення, що .

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{01}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}),

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$

Φ

$\Phi$

z_{1 - α}

$z_{1-\alpha}$

Φ (z_{1 - α}) = 1 - α

$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

Якщо , . Тоді, якщо , . Як варіант, якщо , . $\mu_0 = c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$ $\mu_0 > c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$ $\mu_0 < c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

Ймовірність відхилення нуля у другому тесті -

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{02}) = Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}}) .

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$

Знову ж таки, якщо нас є . Аналогічно, якщо , . Нарешті, якщо , . $\mu_0 = -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$ $\mu_0 > -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$ $\mu_0 < -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

Оскільки області відхилення двох тестів роз'єднані, ймовірність відхилення дорівнює: $H_0$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{0}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}) + Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}})

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$

Отже, якщо , є верхньою межею ймовірності відхилення (глобальної) нульової гіпотези. Тому підхід, який я запропонував, був надто ліберальним. $\mu \in [-c,c]$ $2\alpha$

Якщо я не помиляюся, ми можемо досягти рівня значущості , зробивши ті ж два тести і відкинувши нуль, якщо -значення одного з них менше . Аналогічний аргумент справедливий, коли дисперсія невідома і нам потрібно застосувати -test. $\alpha$ $p$ $\alpha/2$ $t$

— Vic101
джерело

Правка знаходиться на правильному шляху :-).

— whuber

Дуже цікаве запитання !!

Ви використовуєте логічний наслідок, тобто умову посягання. Ця умова тягне за собою основу класичної логіки, вона гарантує висновок або виведення результату з передумови.

Обґрунтування вашої пропозиції наступне:

Якщо тягне за собою , то спостережувані дані повинні мати більше доказів проти ніж . $H_0$ $H_0'$ $H_0$ $H_0'$

З точки зору ваших допоміжних гіпотез і , ми маємо , тобто тягне за собою а також тягне за собою . Отже, відповідно до умови сприйняття, нам слід спостерігати більше доказів проти ніж або . Потім ви зробили висновок, що якщо одне з p-значень, обчислених під або є достатньо малим, значення p, обчислене під буде ще меншим. $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{0}$ $H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_0$

Однак це логічне міркування не вірно для p-значень, тобто p-значення не відповідають логічному наслідку. Кожне p-значення будується за певною нульовою гіпотезою, тому р-значення для різних нульових гіпотез обчислюються за різними показниками. З цієї причини p-значення не можуть поважати логічні міркування щодо простору параметрів (або простору нульових гіпотез).

Приклади, коли p-значення порушують умови залучення, представлені в Schervish (1996) та Patriota (2013). В останньому документі наведено приклади двовимірного нормального розподілу та регресійної моделі (див. Приклади 1.1 та 1.2 на сторінках 5 та 6 відповідно). Еран Равів надає алгоритм в R-коді для двовимірного випадку. Навчання з цих прикладів таке: ви повинні обчислити р-значення безпосередньо для нульової гіпотези, що цікавить. Schervish (1996) надає формулу p-значення для вашого прикладу, коли і , див. Формула (2) на сторінці 204. Якщо ви хочете обчислити p-значення, ви повинні адекватно цю формулу для ваш випадок. $n=1$ $\sigma^2 = 1$

Патріота (2013) пропонує нову міру доказів для перевірки загальних нульових гіпотез (складених чи простих нульових гіпотез), що враховують логічний наслідок. Цей показник називається s-значенням у роботі. Для вашого прикладу процедура порівняно проста:

Знайдіть інтервал довіри (1- ) для (асимптотичний): , де - середня вибірка, - дисперсія вибірки , - стандартного нормального розподілу і - розмір вибірки. $\alpha$ $\mu$ $I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$ $\bar{x}$ $s^2$ $z_{{\alpha}/{2}}$ ${\alpha}/{2}$ $n$
Знайдіть значення для якого амплітуда мінімальна і має принаймні один спільний елемент з (тобто, границя ). Це - значення . $\alpha^*$ $I(\mu, \alpha^*)$ $\{-c, c\}$ $[-c,c]$ $\alpha^*$ $s$
З одного боку, якщо , то спостережуваний зразок підтверджує нульову гіпотезу ; якщо значення значення досить мале, ви можете прийняти нуль. З іншого боку, якщо , то спостережуваний зразок надає інформацію проти нульової гіпотези ; якщо значення значення досить мало, то ви можете відхилити нуль. В іншому випадку не слід відхиляти або приймати нуль. $\bar{x} \in [-c,c]$ $H_0: |\mu|\leq c$ $s$ $\bar{x} \not \in [-c,c]$ $H_0$ $s$

Зауважте, що якщо і відповідне -значення надзвичайно мало, це означає, що альтернативна гіпотеза надзвичайно далека від максимально правдоподібного значення . Якщо і відповідне значення вкрай мало, це означає, що нульова гіпотеза надзвичайно далеко від максимально правдоподібного значення . Спробуйте намалювати картину, що представляє довірчий інтервал та нульову гіпотезу, що цікавить, щоб краще зрозуміти висновки. Для отримання додаткової інформації, будь ласка, прочитайте оригінал статті Patriota (2013). $\bar{x}\in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ $\bar{x}\not \in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$

Як знайти об'єктивні пороги прийняття чи відхилення нуля за допомогою цього -значення, залишається відкритою проблемою. Цей підхід є приємним, оскільки ми можемо прийняти нульову гіпотезу. Це має сенс кожного разу, коли спостережуваний зразок підтверджує нульове значення, і це далеко від альтернативи. У вашому прикладі видно для , , і . Досить просто побачити, що щільність даних надзвичайно сконцентрована на (в десять разів перевищує стандартну помилку). Для того, щоб було не порожнє перехрестя з , потрібно 99900 стандартних помилок. Тому було б справедливо прийняти $s$ $c = 1000$ $\bar{x} = 1$ $s^2 = 1$ $n=10000$ $[0.9, \ 1.1]$ $[-1000, \ 1000]$ $H_0: |\mu| \leq c$ в цьому випадку.

Список літератури:

Патріота, AG (2013). Класична міра доказів для загальних нульових гіпотез, Нечіткі набори та системи, 233, 74–88

Schervish, MJ (1996). P Значення: Що вони є, а що ні, Американський статистик, 50, 203–206.

— Олександр Патріота
джерело