Умови існування інформаційної матриці Фішера

Різні підручники цитують різні умови існування інформаційної матриці Фішера. Нижче наведено декілька таких умов, кожна з яких міститься у деяких, але не у всіх, визначеннях "інформаційної матриці Фішера".

1. Чи є стандартний мінімальний набір умов?
2. З 5 наведених нижче умов, які можна усунути?
3. Якщо одну з умов можна виконати, чому ви вважаєте, що вона була включена в першу чергу?
4. Якщо одну з умов неможливо виконати, чи означає це, що ті підручники, які її не вказали, дали помилкове або хоча б неповне визначення?

1. Закс, Теорія статистичного умовиводу (1971), с. 194.
   Матриця є позитивно визначеною для всіх θ ∈ Θ . $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Шервіш, Теорія статистики (1997, кор. 2-ї друк), визначення 2.78, с. 111
   Множина однакова для всіх θ . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Боровков, Математична статистика (1998). p. 147
   є безперервно диференційованими wrt θ i . $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. Боровков, Математична статистика (1998). p. 147
   неперервна і зворотна. $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. Gourieroux & Monfort, статистичні та економетричні моделі, т. I (1995). Визначення (а), стор. 81-82
   існують $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

Для порівняння, ось повний перелік умов Lehman & Cassella. Теорія оцінки точок (1998). p. 124 :

1. - відкритий інтервал (скінченний, нескінченний або напівскінченний) $\Theta$
2. $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$

І ось повний перелік умов у Barra, Notions fondamentales de statistique mathematique (1971). Визначення 1, с. 35 :

$\theta\in\Theta$$=0$

$\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

У мене немає доступу до всіх посилань, але я хотів би зазначити кілька зауважень щодо деяких ваших питань:

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• Важко встановити загальні умови існування FIM, не відкидаючи деяких моделей, для яких FIM насправді існує. Наприклад, умова диференційованості не є необхідною умовою існування FIM. Прикладом цього є подвійна експоненціальна або модель Лапласа. Відповідний FIM чітко визначений, але щільність не є вдвічі диференційованою в режимі. Деякі інші моделі, які відрізняються вдвічі, мають поганий поводження з FIM і потребують додаткових умов (див. Цей документ ).

Можна створити досить загальні умови, але вони можуть бути занадто суворими. Необхідні умови існування FIM до кінця не вивчені. Тоді відповідь на ваше перше запитання може бути не простим.