Приклад розподілу, коли для теореми центральної межі необхідний великий розмір вибірки

У деяких книгах зазначено, що розмір вибірки розміром 30 або вище необхідний, щоб теорема про центральну межу дала хороший наближення для . $\bar{X}$

Я знаю, цього недостатньо для всіх дистрибутивів.

Я хотів би побачити кілька прикладів розподілів, де навіть при великому розмірі вибірки (можливо, 100, 1000 або більше) розподіл середнього зразка все ще досить перекошений.

Я знаю, що раніше бачив подібні приклади, але не можу пригадати, де і не можу їх знайти.

У деяких книгах зазначено, що розмір вибірки розміром 30 або вище необхідний, щоб теорема про центральну межу дала хороший наближення для .$\bar{X}$

Це поширене правило великого значення є абсолютно марним. Є ненормальні розподіли, для яких n = 2 буде нормальним, а ненормальні розподіли, для яких значно більший недостатній - тому без явного обмеження обставин правило вводить в оману. У будь-якому випадку, навіть якби це було правдою, потрібні змінюватимуться залежно від того, що ви робите. Часто ви отримуєте хороші наближення поблизу центру розподілу при малих , але потрібні набагато більші щоб отримати гідне наближення в хвіст.n n $n$$n$$n$$n$

Редагувати: Дивіться відповіді на це запитання для численних, але, очевидно, одностайних думок з цього питання, а також декількох хороших посилань. Я не буду справляти справу, оскільки ви це вже чітко розумієте.

Я хочу побачити декілька прикладів розподілів, де навіть при великому розмірі вибірки (можливо, 100 або 1000 або вище) розподіл середнього зразка все ще досить перекошений.

Приклади можна легко побудувати; один простий спосіб - знайти нескінченно подільний розподіл, який є не нормальним, і розділити його. Якщо у вас є той, який наблизиться до нормального, коли ви будете в середньому або підсумувати його, починайте на межі "близького до нормального" і розділіть його на скільки завгодно. Так, наприклад:

Розглянемо розподіл Гамма з параметром форми . Візьміть шкалу як 1 (шкала не має значення). Скажімо, ви вважаєте просто "досить нормальним". Тоді розподіл, для якого потрібно отримати 1000 спостережень, щоб бути достатньо нормальним, має розподіл . Гамма ( α 0 , 1 ) Gamma ( α 0 / 1000 , 1 $α$$\text{Gamma}(α_0,1)$$\text{Gamma}(α_0/1000,1)$

Тож якщо ви відчуваєте, що гамма з просто 'нормальна' -$\alpha=20$

Потім розділіть на 1000, щоб отримати :α = $\alpha=20$$\alpha = 0.02$

В середньому 1000 з них матимуть форму першого PDF (але не його масштаб).

Якщо ви замість цього обрали нескінченно подільний розподіл, який не наближається до нормального, як, наприклад, Коші, то може не бути розміру вибірки, при якому засоби вибірки мають приблизно нормальні розподіли (або, в деяких випадках, вони все ще можуть наближатися до нормальності, але у вас немає ефекту для стандартної помилки).$\sigma/\sqrt n$

@ думка Уубера щодо забруднених розподілів дуже хороша; можливо, варто спробувати трохи моделювання з цим випадком і побачити, як поводяться справи в багатьох подібних зразках.

Окрім безлічі чудових відповідей, наданих тут, Ренд Вілкокс опублікував чудові статті з цього питання і показав, що наша типова перевірка адекватності нормального наближення є досить оманливою (і недооцінює необхідний розмір вибірки). Він відзначає, що середнє може бути приблизно нормальним, але це лише половина історії, коли ми не знаємо . Коли невідома, ми зазвичай використовуємо розподіл для тестів та меж довіри. Дисперсія вибірки може бути дуже-дуже далекою від масштабованого і отримане співвідношення може виглядати не так, як розподіл колиσ t χ 2 t t n = 30 s 2 ˉ $\sigma$$\sigma$$t$$\chi^2$$t$$t$$n=30$. Простіше кажучи, ненормальність псує більше, ніж вона псує .$s^2$$\bar{X}$

Цей документ може бути корисним (або принаймні цікавим):

http://www.umass.edu/remp/Papers/Smith&Wells_NERA06.pdf

Дослідники з UMass насправді провели дослідження, подібне до того, що ви запитуєте. При якому розмірі вибірки певні розподілені дані слідують за нормальним розподілом завдяки CLT? Очевидно, що багато даних, зібраних для експериментів з психології, не є десь поблизу нормально розповсюджених, тому дисципліна досить сильно покладається на CLT, щоб робити будь-які висновки щодо їх статистики.

Спочатку вони провели тести на дані, які були рівномірними, бімодальними та однією дистибуцією, яка була нормальною. Використовуючи Колмогорова-Смірнова, дослідники перевірили, скільки розподілів було відхилено для нормальності на рівні .$\alpha = 0.05$

Table 2. Percentage of replications that departed normality based on the KS-test. 
 Sample Size 
           5   10   15   20   25  30 
Normal   100   95   70   65   60  35 
Uniform  100  100  100  100  100  95 
Bimodal  100  100  100   75   85  50

Як не дивно, 65 відсотків зазвичай розповсюджених даних було відхилено з розміром вибірки 20, і навіть з розміром вибірки 30, 35% все ж були відхилені.

Потім вони протестували кілька декількох сильно перекошених розподілів, створених за допомогою енергетичного методу Флейшмана:

$Y = aX + bX^2 +cX^3 + dX^4$

X являє собою значення, отримане з нормального розподілу, тоді як a, b, c і d є константами (зауважимо, що a = -c).

Вони провели тести з розмірами зразків до 300

Skew  Kurt   A      B      C       D 
1.75  3.75  -0.399  0.930  0.399  -0.036 
1.50  3.75  -0.221  0.866  0.221   0.027 
1.25  3.75  -0.161  0.819  0.161   0.049 
1.00  3.75  -0.119  0.789  0.119   0.062 

Вони виявили, що при найвищих рівнях перекосу та курта (1,75 та 3,75) розміри зразків 300 не дають зразків засобів, які супроводжуються нормальним розподілом.

На жаль, я не думаю, що це саме те, що ви шукаєте, але я натрапив на це і вважаю це цікавим, і думав, що ви теж можете.