Стандартна похибка укосів у кусково-лінійній регресії з відомими точками переривання

Ситуація

У мене є набір даних з однією залежною і однією незалежною змінною . Я хочу встановити безперервну кусочно-лінійну регресію з відомими / фіксованими точками розриву, що виникають при . Прориви відомі без сумнівів, тому я не хочу їх оцінювати. Тоді я регресію (OLS) форми Ось приклад в$y$$x$$k$$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k})$

set.seed(123)
x <- c(1:10, 13:22)
y <- numeric(20)
y[1:10] <- 20:11 + rnorm(10, 0, 1.5)
y[11:20] <- seq(11, 15, len=10) + rnorm(10, 0, 2)

Припустимо, що точка розриву відбувається в :$k_1$$9.6$

mod <- lm(y~x+I(pmax(x-9.6, 0)))
summary(mod)

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)          21.7057     1.1726  18.511 1.06e-12 ***
x                    -1.1003     0.1788  -6.155 1.06e-05 ***
I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Перехоплення та нахил двох відрізків складають: та для першого та та для другого відповідно.$21.7$$-1.1$$8.5$$0.27$

Запитання

1. Як легко обчислити перехоплення та нахил кожного відрізка? Чи можна перереметризувати модель, щоб зробити це за один розрахунок?
2. Як обчислити стандартну похибку кожного нахилу кожного відрізка?
3. Як перевірити, чи мають два суміжні схили однакові схили (тобто чи можна опустити точку розриву)?

1. Як легко обчислити перехоплення та нахил кожного відрізка?

Нахил кожного відрізка обчислюється шляхом простого додавання всіх коефіцієнтів до поточного положення. Тож оцінка схилу в$x=15$ є $-1.1003 + 1.3760 = 0.2757\,$.

Перехоплення трохи складніше, але це лінійна комбінація коефіцієнтів (за участю вузлів).

У вашому прикладі другий рядок відповідає першому в $x=9.6$, тож червона точка знаходиться на першому рядку в $21.7057 -1.1003 \times 9.6 = 11.1428$. Оскільки другий рядок проходить через точку$(9.6, 11.428)$ з нахилом $0.2757$, його перехоплення є $11.1428 - 0.2757 \times 9.6 = 8.496$. Звичайно, ви можете скласти ці кроки разом, і це спрощує право до перехоплення другого сегмента =$\beta_0 - \beta_2 k_1 = 21.7057 - 1.3760 \times 9.6$.

Чи можна перемежувати модель, щоб це зробити за один розрахунок?

Ну так, але взагалі, мабуть, простіше просто обчислити його з моделі.

2. Як обчислити стандартну похибку кожного нахилу кожного відрізка?

Оскільки оцінка є лінійною комбінацією коефіцієнтів регресії $a^\top\hat\beta$, де $a$ складається з 1 та 0, дисперсія - $a^\top\text{Var}(\hat\beta)a$. Стандартною помилкою є квадратний корінь цієї суми дисперсійних та коваріаційних доданків.

наприклад, у вашому прикладі стандартна похибка нахилу другого відрізка:

Sb <- vcov(mod)[2:3,2:3]
sqrt(sum(Sb))

альтернативно в матричній формі:

Sb <- vcov(mod)
a <- matrix(c(0,1,1),nr=3)
sqrt(t(a) %*% Sb %*% a)

3. Як перевірити, чи мають два суміжні схили однакові схили (тобто чи можна опустити точку розриву)?

Це перевіряється, дивлячись на коефіцієнт у таблиці цього сегмента. Дивіться цей рядок:

I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***

Ось така зміна нахилу в 9,6. Якщо ця зміна відрізняється від 0, два схили не однакові. Отже, значення p для тесту, що другий відрізок має той же нахил, що і перший, знаходиться в кінці цього рядка.

Мій наївний підхід, який відповідає на питання 1:

mod2 <- lm(y~I((x<9.6)*x)+as.numeric((x<9.6))+
             I((x>=9.6)*x)+as.numeric((x>=9.6))-1)
summary(mod2)

#                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# I((x < 9.6) * x)        -1.1040     0.2328  -4.743 0.000221 ***
# as.numeric((x < 9.6))   21.7188     1.3099  16.580 1.69e-11 ***
# I((x >= 9.6) * x)        0.2731     0.1560   1.751 0.099144 .  
# as.numeric((x >= 9.6))   8.5442     2.6790   3.189 0.005704 ** 

Але я не впевнений, чи статистика (зокрема ступеня свободи) зроблена правильно, якщо ви робите це так.