Різниця між багатовимірним стандартним нормальним розподілом та гауссова копула

Мені цікаво, в чому різниця між багатоваріантним стандартним нормальним розподілом і гауссова копула, оскільки коли я дивлюсь на функцію щільності, вони здаються мені однаковими.

Моє питання полягає в тому, чому вводиться копула Гаусса або яка користь приносить копула Гаусса або яка її перевага в тому випадку, коли копула Гаусса - це не що інше, як сама багатоваріантна нормальна нормальна функція.

Також яке поняття стоїть за інтегральним перетворенням вірогідності в копулі? Я маю на увазі, що ми знаємо, що копула - це функція з рівномірною змінною. Чому вона повинна бути рівномірною? Чому б не використати фактичні дані на зразок багатоваріантного нормального розподілу та знайти матрицю кореляції? (Зазвичай ми побудуємо два повернення активів, щоб врахувати їх відносини, але коли це копула, ми замість цього побудуємо нас, які є ймовірностями.)

Інше питання. Я також сумніваюся, чи може кореляційна матриця з MVN бути непараметричною або напівпараметричною, як у копули (для параметра копули може бути тау Кендалла тощо)

Буду дуже вдячний за вашу допомогу, оскільки я новачок у цій галузі. (але я прочитав багато робіт, і це єдині речі, яких я не розумію)

normal-distribution copula

— користувач26979
джерело

Як ви "дивитесь на функцію щільності"? Можливо, ви не використовуєте досить чутливий метод. Наприклад, щільність, безумовно, не є багатоваріантною нормою, коли границі не є нормальними! Спробуйте це за допомогою гауссова з зв'язкою мультимодальних розподілом, такі як бета

(1 / 2, 1 / 2)

$(1/2,1/2)$ : що повинно виглядати явно ненормальним!

— whuber

рівняння (6) є біваріантним гауссова копула CDF iopscience.iop.org/2041-8205/708/1/L9/fulltext/…, тоді як перше рівняння розділу опису є двовимірним стандартним нормальним CDF roguewave.com/portals/0/products/ imsl-numerical-library /… і коли ми порівнюємо їх разом, функціональна форма дуже схожа. ну вони точно такі самі.

— користувач26979

Ви маєте рацію: тому не варто покладатися на випадкові посилання в Інтернеті, особливо на ті, що мають погано визначені терміни та жахливі набори. Зверніться до Нельсона (одне з джерел для Вашого першого посилання, яке можна легко читати).

— whuber

тож, якщо не згадати вищезгадані, яка різниця у вашому погляді?

— користувач26979

Одне загальне правило щодо технічних праць, особливо тих, які знайдені в Інтернеті, - полягає в тому, що надійність будь-якого статистичного чи математичного визначення, що пропонується в них, змінюється обернено в залежності від кількості споріднених нестатистичних предметів, згаданих у назві статті. Заголовок сторінки в першому запропонованому посиланні (у коментарі до запитання) - "Від фінансів до космології: Копула великомасштабної структури". Оскільки «фінанси» і «космологія» є чіткими, ми можемо бути впевнені, що це не гарне джерело інформації про копули!

Замість цього звернемось до стандартного і дуже доступного підручника, вступ Роджера Нельсена до копул (Друге видання, 2006 р.), Для основних визначень.

... кожна копула - це спільна функція розподілу з однаковими полями [інтервал замкнутого одиниці . $[0,1]]$

[На с. 23, низ.]

Для ознайомлення з копулами зверніться до першої теореми в книзі, теореми Скляра :

Нехай буде спільна функція розподілу з полями і . Тоді існує копула така, що для всіх у [розширених дійсних числах], $H$ $F$ $G$ $C$ $x,y$
$H (x, y) = C (F (x), G (y)) .$ $H(x,y) = C(F(x),G(y)).$

[Повідомлено на стор. 18 і 21.]

Хоча Нельсен не називає це таким, він визначає приклад Гаусса на прикладі:

... якщо позначає стандартну (одноваріантну) функцію нормального розподілу, а - стандартну функцію звичайного двовимірного розподілу (з коефіцієнтом кореляції Пірсона продукт-момент ), то ... $\Phi$ $N_\rho$ $\rho$
$C (u, v) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (u)} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (v)} \exp [\frac{- (s^{2} - 2 ρ s t + t^{2})}{2 (1 - ρ^{2})}] d s d t$ $C(u,v) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(v)}\exp\left[\frac{-\left(s^2-2\rho s t + t^2\right)}{2\left(1-\rho^2\right)}\right]dsdt$

[на с. 23, рівняння 2.3.6]. З позначень випливає, що цей справді є спільним розподілом для коли $C$ $(u,v)$ $(\Phi^{-1}(u), \Phi^{-1}(v))$ $F$ $G$ $C$ $\Phi$ $F$ $G$ $C$

Так що так, це виглядає чудово , як формули для двомірного нормального розподілу, так як він є двовимірним нормальним для перетворених змінних $(\Phi^{-1}(F(x)),\Phi^{-1}(G(y)))$ $F$ $G$

Приклад

Нехай - функція розподілу для бета змінної $F$ $(4,2)$ $X$ $G$ $(2)$ $Y$ $H$ $F$ $G$ $x$ $y$

Сюжет

$0\le x \le 1$ $0 \le y$

Відсутність симетрії робить її, очевидно, ненормальною (і без нормальних запасів), але, тим не менш, вона має копулу Гаусса за побудовою. FWIW має формулу, і це некрасиво, також, очевидно, не є двозначним. Нормальне:

\frac{1}{\sqrt{3}} 2 (20 (1 - x) x^{3}) (e^{- y} y) \exp (w (x, y))

$\frac{1}{\sqrt{3}}2 \left(20 (1-x) x^3\right) \left(e^{-y} y\right) \exp \left(w(x,y)\right)$

$w(x,y)$

{erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))^{2} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2} {erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))) - \frac{{erfc}^{- 1} (2 (I_{x} (4, 2)))}{\sqrt{2}})}^{2}) .

$\text{erfc}^{-1}\left(2 (Q(2,0,y))^2-\frac{2}{3} \left(\sqrt{2} \text{erfc}^{-1}(2 (Q(2,0,y)))-\frac{\text{erfc}^{-1}(2 (I_x(4,2)))}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$

$Q$ $I_x$

— дзижчати
джерело

Дякую за редагування, @Cardinal: Мені бентежить неправильне написання імені Нельсена, особливо коли я дивився прямо на передню частину книги! (На свій захист я вперше помітив це в бібліографії посилань на ОП, де він також написаний помилково: це, мабуть, застрягло зі мною. :-)

— whuber

Це була така незначна річ, я подумав, що я просто продовжую робити зміни. Правопис є незвичним (принаймні англійською!), Особливо порівняно з більш поширеним варіантом. :-)

— кардинал