Інтеграція Монте-Карло для неквадратичних інтегруючих функцій

Я сподіваюся, що це правильне місце для запитання, якщо не сміливо перенести його на більш відповідний форум.

Я досить довго задавався питанням, як лікувати неквадратичні інтегруючі функції за допомогою інтеграції Monte Carlo. Я знаю, що MC все ж дає належну оцінку, але помилка недостовірна (розходяться?) Для таких функцій.

Обмежимося одним виміром. Інтеграція Монте-Карло означає, що ми наближаємо інтеграл

Я = \int_{0}^{1} г х f (х)

$I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, f(x)$

використовуючи кошторис

E = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (x_{i})

$E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$

з рівномірно розподілені випадкові точки. Закон великих чисел гарантує , що . Дисперсія вибірки $x_i \in [0,1]$ $E \approx I$

S^{2} = \frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (f (x_{i}) - E)^{2}

$S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (f (x_i) - E)^2$

наближає дисперсію розподілу, індукованого . Однак, якщо не є інтегральним по квадрату, тобто інтеграл квадратичної функції розходяться, це означає $\sigma^2$ $f$ $f$

σ^{2} = \int_{0}^{1} d x {(f (x) - I)}^{2} = \int_{0}^{1} d x f^{2} (x) - I^{2} ⟶ \infty

$\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, \left( f(x) - I \right)^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, f^2(x) - I^2 \longrightarrow \infty$

Це означає, що дисперсія також розходиться.

Простий приклад - функція

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

для яких та . $I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$ $\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \left( \frac{1}{x} - 2 \right) = \left[ \ln x - 2x \right]_0^1 \rightarrow \infty$

Якщо є кінцевим, можна наблизити похибку середнього по , але що робити, якщо не є інтегральним за площею? $\sigma^2$ $E$ $\frac{S}{\sqrt{N}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ $f(x)$

monte-carlo numerical-integration

— cschwan
джерело

Я не розумію: ви починаєте з того, що зазначаєте, що жоден з має дисперсії, а потім запитуєте, чи буде дисперсія їх середнього значення розумною оцінкою - цієї неіснуючої дисперсії! Або я неправильно читаю це питання: можливо, за "статистично незалежними оцінками" ви маєте якийсь інший (можливо, надійний) оцінювач інтеграла на увазі?

E_{i}

$E_i$

— whuber

Я не сказав, що у немає дисперсії, тільки я не можу визначити для неї дисперсію за допомогою . Тож питання полягає в тому, чи можу я взагалі визначити помилку і чи є розумним кандидатом. Під статистично незалежним я маю на увазі, що отримують за допомогою різних випадкових чисел, наприклад, використовуючи різно посіяні генератори випадкових чисел (я сподіваюся, що це правильний термін).

E

$E$

S^{2}

$S^2$

{\bar{S}}^{2}

$\bar{S}^2$

E_{i}

$E_i$

— cschwan

Будь ласка, поясніть, що ви маєте на увазі, не маючи змоги "визначити відхилення для цього за допомогою

S^{2}

$S^2$ "Я не можу сенсу цього використовувати, використовуючи стандартні визначення дисперсії та

S^{2}

$S^2$ .

— whuber

Ну, функція не є інтегральною у квадрат, тому, якщо я не помиляюся,

S^{2}

$S^2$ повинні розходитися . Якщо це так, визначення для

S^{2}

$S^2$ в першу чергу немає сенсу, правда? Однак за допомогою центральної граничної теореми

E

$E$ все ще збігатиметься з справжнім значенням інтеграла, але без помилки це значення лише не має сенсу (наскільки «хорошим» є цей результат?).

— cschwan

Вибачте, я мав на увазі сказати "закон великої кількості", звичайно, не CLT.

— cschwan

Можна просто використовувати інші масштабні / дисперсійні заходи, такі як інтерквантильний діапазон, на який не впливають хвостові асимптотики і, отже, квадратна інтеграція. З додатковою перевагою, що часто вони взагалі є більш надійними.

Очевидно, що слід застосувати їх до переустановки / завантажувальної програми з наступним оцінювачем середнього рівня, а не безпосередньо до вихідного виходу функції вибірки МС перед усередненням. Ви також можете перевірити загальні L-оцінки та адаптувати один з них, щоб об'єднати ці два кроки в один для продуктивності, але подумки два розподіли не плутатимуться, навіть незважаючи на те, що PDF-оцінювач, природно, успадкував деякі характеристики (включаючи, можливо, відсутність квадрата інтегральність).

— Кварц
джерело

+1, я повинен додати, що закон великої кількості не вимагає другого моменту, тому це цілком вдала порада.

— mpiktas

Дякую за вашу відповідь! Я повинен визнати, що я прочитав ці умови вперше, але, переглядаючи їх на WP, я думаю, що ваша відповідь спрямовує мене в правильному напрямку. Чи можете ви чи хтось інший запропонувати якісь статті чи книги, які детальніше пояснюють тематику?

— cschwan

Я зараз помічаю, що, можливо, моя відповідь була трохи незрозумілою. Оскільки ви моделюєте, вам насправді не потрібно перекомпонувати / завантажувати, теоретично ви можете просто додати нові зразки замість цього та отримати емпіричне розподіл середнього оцінювача. Тільки якщо ресурси викликають занепокоєння, ви зможете заздалегідь розрахувати часткові середні показники та переглянути їх, але статистика не буде тривіальною, якщо це буде зроблено. Я не фахівець з питань завантаження, тому я залишаю поради щодо цього іншим, просто хотів би зазначити, чи потрібно виходити за рамки прямого формулювання. Спершу концентруйтеся на дисперсійних заходах, оптимізуйте пізніше.

— Кварц

Запропонований середній оцінювач не має кінцевої дисперсії. Не має значення, якщо додавати подальші зразки, емпіричний розподіл оцінювача ТАКОЖ матиме нескінченну дисперсію. Ви можете підтвердити це кількома моделюваннями.

— rajb245

Впевнений, що саме про це йшлося і причина, чому слід застосовувати інший дисперсійний захід.

— Кварц