Питання про зворотну дисперсію зважування

Припустимо, ми хочемо зробити висновок про неспостережувану реалізацію випадкової величини , яка зазвичай розподіляється середнім та дисперсією . Припустимо, є ще одна випадкова величина (незабезпеченою реалізацією якої ми також будемо називати ), яка зазвичай розподіляється із середнім та дисперсією . Нехай - коваріація і . $x$ $\tilde x$ $\mu_x$ $\sigma^2_x$ $\tilde y$ $y$ $\mu_y$ $\sigma^2_y$ $\sigma_{xy}$ $\tilde x$ $\tilde y$

Тепер припустимо, що ми спостерігаємо сигнал на $x$ ,

\begin{aligned} а = х + \tilde{у}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$ де

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$ , і сигнал на

y

$y$ ,

\begin{aligned} б = у + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$ де

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$ . Припустимо, що

\tilde{u}

$\tilde u$ та

\tilde{v}

$\tilde v$ є незалежними.

Який розподіл $x$ умовний на $a$ і $b$ ?

Що я знаю до цих пір: За допомогою зворотного дисперсійного зважування

\begin{aligned} Е (х | а) = \frac{\frac{1}{σ_{х}^{2}} {мк}_{х} + \frac{1}{ϕ_{х}^{2}} а}{\frac{1}{σ_{х}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{х}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$ і

\begin{aligned} V ар (х | а) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{х}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{х}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

Оскільки $x$ і $y$ спільно намальовані, $b$ повинен містити деяку інформацію про $x$ . Крім усвідомлення цього, я застряг. Будь-яка допомога вдячна!

meta-analysis

— bad_at_math
джерело

Це схоже на перші кілька кроків щодо отримання фільтра Калмана. Ви можете подивитися на виведення та подумати над виграшем Кальмана для оновлення оцінки коваріації стану. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

— EngrStudent

Дякую за відповідь! Я читаю документ у вашому посиланні, але не бачу зв'язку з фільтруванням Калмана. Будь-який шанс ви могли б розробити? Я ціную допомогу!

— bad_at_math

@EngrStudent Якщо ОП не знайомий з фільтром Калмана, я не бачу, як це допоможе. Можливо, ви могли б замість цього пояснити, як підійти до проблеми, не посилаючись на будь-яку специфіку (або жаргон), пов'язану з КФ, хоча можливо, використовуючи ваше розуміння цього, щоб навести відповідь на конкретні тут.

— Glen_b -Встановити Моніку

Перехресне повідомлення на math.SE тут

— Glen_b -Встановити Моніку

Я не впевнений, чи застосовуються тут зворотні дисперсійні формули зважування. Однак я думаю, що ви можете обчислити умовний розподіл заданих і , вважаючи, що , $x$ $a$ $b$ $x$ $y$ , $a$ і $b$ слідкуйте за спільним багатоваріантним нормальним розподілом.

Зокрема, якщо ви припускаєте (сумісно з тим, що вказано у питанні), що

[\begin{matrix} х \\ у \\ у \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} {мк}_{х} \\ {мк}_{у} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{х}^{2} & σ_{х у} & 0 & 0 \\ σ_{х у} & σ_{у}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{х}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{у}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$ то, випускаючи

a = x + u

$a=x+u$ і

b = y + v

$b=y+v$ , ви можете це знайти

[\begin{matrix} х \\ а \\ б \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} {мк}_{х} \\ {мк}_{х} \\ {мк}_{у} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{х}^{2} & σ_{х}^{2} & σ_{х у} \\ σ_{х}^{2} & σ_{х}^{2} + ϕ_{х}^{2} & σ_{х у} \\ σ_{х у} & σ_{х у} & σ_{у}^{2} + ϕ_{у}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$ (Зауважимо, що у вищесказаному неявно вважається, що це

u

$u$ і

v

$v$ незалежні між собою, а також з

x

$x$ і

y

$y$ .)

З цього можна було б знайти умовний розподіл $x$ дано $a$ і $b$ використовуючи стандартні властивості багатоваріантного нормального розподілу (див. тут, наприклад: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions ).

— a.arfe
джерело