Коли z-перетворення Фішера підходить?

Я хочу перевірити вибіркову кореляцію на значущість, використовуючи p-значення, тобто$r$

$H_0: \rho = 0, \; H_1: \rho \neq 0.$

Я зрозумів, що можу використовувати z-перетворення Фішера, щоб обчислити це

$z_{obs}= \displaystyle\frac{\sqrt{n-3}}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{1+r}{1-r}\right)$

і знаходження p-значення за

$p = 2P\left(Z>z_{obs}\right)$

використовуючи стандартний нормальний розподіл.

Моє запитання: наскільки великим має бути щоб це було відповідним перетворенням? Очевидно, що повинно бути більше 3. У моєму підручнику немає жодних обмежень, але на слайді 29 цієї презентації написано, що має бути більше 10. Для даних, які я буду розглядати, у мене буде щось на зразок .$n$$n$5 ≤ n ≤ $n$$5 \leq n \leq 10$

У таких питаннях я б просто запустив моделювання і побачив, чи поводяться -значення так, як я їх очікую. Значення значення - це ймовірність випадкового складання зразка, що відхиляється принаймні стільки ж від нульової гіпотези, скільки даних, які ви спостерігали, якщо нульова гіпотеза є істинною. Отже, якби у нас було багато таких зразків, і в одному з них було -значення .04, тоді ми очікували б, що 4% цих зразків матиме значення менше 0,04. Те саме стосується всіх інших можливих значень.p p $p$$p$$p$$p$

Нижче є моделювання в Stata. Графіки перевіряють, чи вимірює -значення те, що вони повинні вимірювати, тобто вони показують, на скільки частка відборів з -значеннями меншою за номінальну -значення відхиляється від номінальної -значення. Як видно, тест є дещо проблематичним при такій малій кількості спостережень. Незалежно від того, чи це занадто проблематично для вашого дослідження, це ваш засуд.p p $p$$p$$p$$p$

clear all
set more off

program define sim, rclass
    tempname z se
    foreach i of numlist 5/10 20(10)50 {
        drop _all
        set obs `i'
        gen x = rnormal()
        gen y = rnormal()
        corr x y 
        scalar `z'  = atanh(r(rho))
        scalar `se' = 1/sqrt(r(N)-3)
        return scalar p`i' = 2*normal(-abs(`z'/`se'))
    }
end

simulate p5 =r(p5)  p6 =r(p6)  p7  =r(p7)     ///
         p8 =r(p8)  p9 =r(p9)  p10 =r(p10)    ///
         p20=r(p20) p30=r(p30) p40 =r(p40)    ///
         p50=r(p50), reps(200000) nodots: sim 

simpplot p5 p6 p7 p8 p9 p10, name(small, replace) ///
    scheme(s2color) ylabel(,angle(horizontal)) 

simpplot p20 p30 p40 p50 , name(less_small, replace) ///
    scheme(s2color) ylabel(,angle(horizontal)) 

FWIW Я бачу рекомендацію у Myers & Well (дослідження дизайну та статистичний аналіз, друге видання, 2003, стор. 492). У виносці зазначено:$N\ge 10$

Строго кажучи, перетворення зміщене величиною : див. Пірсон і Хартлі (1954, стор. 29). Це зміщення, як правило, є незначним, якщо невеликий і великий, і ми тут його ігноруємо.$Z$$r/(2(N-1))$$N$$\rho$

Не впевнений , є чи Фішера перетворення доречно тут. Для (Примітка: нульова гіпотеза призначена для сукупності , а не вибірки ), розподіл вибірки коефіцієнта кореляції вже симетричний, тому не потрібно зменшувати косості, що має на меті зробити Fisher , і ви можете використовувати наближення Стьюдента .$z$$H_0: \rho=0$$\rho$$r$$z$$t$

Якщо припустити, що ви маєте на увазі , то косостість цього PDF буде залежати від запропонованого значення , тож загальної відповіді про те, яким має бути великий не буде. Також мінімальні значення залежать від рівня значущості яким ви працюєте. Ви не вказали його значення.$H_0: \rho = \rho_0 \not = 0$$\rho_0$$n$$n$$\alpha$

Справа Ніка справедлива: наближення та рекомендації завжди діють у якійсь сірій зоні.

Якщо тоді ваше наближення Фішера добре (= симетричне), я б використав зв'язаний застосовується до -розподілів, де - стандарт вибірки відхилення. Якщо вона досить близька до нормальності, це стає .$n\geq (t_{\alpha/2} s/\epsilon)^2$$t$$s$$n \geq (1.96 s/\epsilon)^2$