Інтервал довіри для добутку двох параметрів

Припустимо, у нас є два параметри, і . У нас також є два максимальних оцінювача ймовірності і і два довірчих інтервалу для цих параметрів. Чи є спосіб побудувати інтервал довіри для ? $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— гість
джерело

Ви можете використовувати метод Delta для обчислення стандартної помилки . У дельта-методі зазначено, що наближення дисперсії функції задається: Наближення очікування з іншого боку, дається: Отже, очікування - це просто функція. Ваша функція : . Очікування було б просто: $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $g(t)$

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$

g (t)

$g(t)$

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ . Для дисперсії нам потрібні часткові похідні :

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

Використовуючи функцію для дисперсії, наведеної вище, ми отримуємо:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$

Стандартна помилка буде просто просто коренем sqare у наведеному вище виразі. Після того, як ви отримаєте стандартну помилку, ви можете прямо обчислити 95% довірчий інтервал для :

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

Щоб підрахувати стандартну помилку , вам потрібна дисперсія та яку зазвичай можна отримати по матриці ковариационной , яка була б 2х2 матриця в вашому випадку , тому що у вас є дві оцінки. Діагональними елементами в матриці дисперсії-коваріації є дисперсії та а позадіагональні елементи - коваріація та (матриця симетрична). Як згадує @gung у коментарях, матриця дисперсії та коваріації може бути вилучена більшістю статистичних програм. Іноді алгоритми оцінки забезпечують $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ Гессіанська матриця (тут я не буду вносити деталі про це), а матриця коріансності дисперсії може бути оцінена за обертом негативної гессіанської (але лише якщо ви максимізували ймовірність журналу!; Дивіться цей пост ). Знову зверніться до документації свого статистичного програмного забезпечення та / або Інтернету про те, як витягти гессіанця та як обчислити обернену матрицю.

Крім того, ви можете отримати відхилення та з довірчих інтервалів наступним чином (це справедливо для 95% -CI): . Для -CI розрахункова стандартна помилка: , де - стандартного нормального розподілу (для , ). Тоді $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ . Те саме стосується дисперсії . Нам також потрібна коваріація і (див. Параграф вище). Якщо і незалежні, коваріація дорівнює нулю, і ми можемо відмінити цей термін. $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

Цей документ може надати додаткову інформацію.

— COOLSerdash
джерело

+1. Відхилення параметрів та їх коваріантність можна знайти, вивчивши дисперсію-коваріаційну матрицю , яку може надати більшість статистичних програм. Наприклад, в R, це ? Vcov ; & в SAS, додається як опція до заяви заяви в PROC REG .

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung - Відновіть Моніку

@gung З точки зору педантизму, можливо, варто зазначити (оскільки я знаю, що це бентежить деяких людей), що це дійсно дисперсія-коваріаційна матриця а не (а насправді це навіть не так , тому що стандартне відхилення має бути оцінено від вибірки, тож це дійсно розрахункова дисперсія-коваріаційна матриця ..)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Срібна рибка

@Silverfish, належним чином покараний. Наступного разу я скажу "матрицю оціночної дисперсії та коваріації ".

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— gung - Відновіть Моніку

Ви можете спробувати побудувати функцію ймовірності профілю! і побудувати з цього інтервал довіри.

— kjetil b halvorsen

Чи не оскільки це параметр?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— користувач0

Я знайшов інше рівняння для розрахунку дисперсії продукту.

Якщо х і у незалежно розподілені, дисперсія добутку відносно проста: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) Ці результати також узагальнюються на випадки, що стосуються трьох або більше змінних (Goodman 1960). Джерело: Регулювання пестицидів (1980), додаток F

Coolserdash: у вашому рівнянні відсутній останній компонент V (x) * V (y). Чи посилається книга (Регулювання пестицидів) неправильна?

Також обидва рівняння можуть бути не ідеальними. " ... ми показуємо, що розподіл продукту трьох незалежних нормальних змінних не є нормальним ." ( джерело ). Я очікував би позитивного перекосу навіть у творі двох нормально розподілених змінних.

— Марек Чьерний
джерело

Довжина CI / 2 / 1,96 = se, тобто стандартна помилка A або B
se ^ 2 = var, тобто дисперсія оцінки A або B
Використовуйте оцінене A або B як засіб A або B, тобто E (A) або E (B)
Дотримуйтесь цієї сторінки http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html, щоб отримати var (A * B), тобто var (C)
Квадратний корінь var (C) - це серія C
(C - 1,96 * se (C), C + 1,96 * se (C)) - це 95% CI C

Зауважте, що якщо A і B співвідносяться, вам також слід врахувати їхню коваріацію.

— IcedCoffee
джерело