Яка сума квадратних t змінних?

20

Нехай буде виведено iid з розподілу студента t з ступенями свободи, для середнього розміру (скажімо, менше 100). Визначте Чи розподілений майже як хі-квадрат з ступенями свободи? Чи є щось на зразок центральної граничної теореми для суми квадратних випадкових величин? $t_i$ $n$ $n$

Т = \sum_{1 \leq i \leq к} т_{i}^{2}

$T = \sum_{1\le i \le k} t_i^2$

T

$T$

k

$k$

chi-squared central-limit-theorem t-distribution

— шабчеф
джерело

@suncoolsu: він говорить "майже" ...

— shabbychef

мої вибачення. не бачив цього.

— suncoolsu

14

Відповідаючи на перше запитання.

Ми могли б почати з того факту, який зазначив mpiktas, що . А потім спершу спробуйте більш простий крок - пошук розподілу суми двох випадкових змінних, розподілених на . Це можна зробити або шляхом обчислення згортки двох випадкових величин, або обчислення добутку їх характерних функцій. $t^2 \sim F(1, n)$ $F(1,n)$

Стаття на PCB Філліпс показує , що моє перше припущення про «[сливающемся] гіпергеометричних функціях , пов'язаних» було дійсно так. Це означає, що рішення не буде банальним, а груба сила є складною, але необхідною умовою, щоб відповісти на ваше запитання. Отже, оскільки є фіксованим, і ви підсумуєте t-розподіли, ми не можемо точно сказати, яким буде кінцевий результат. Якщо хтось не має хорошої майстерності, граючи з продуктами злитих гіпергеометричних функцій. $n$

— Дмитро Челов
джерело

2

+1 за посиланням, не знав, що характерна функція розподілу F настільки складна.

— mpiktas

14

Це навіть не близьке наближення. Для малих очікування дорівнює $n$ $T$ тоді як очікуваннядорівнює. Колиневеликий (менше 10, скажімо,) гістограмитанавіть не мають однакової форми, що вказує на те, що зміщення та масштабуваннявсе ще не працюватимуть. $\frac{k n}{n-2}$ $\chi^2(k)$ $k$ $k$ $\log(T)$ $\log(\chi^2(k))$ $T$

Інтуїтивно зрозуміло, що для малих ступенів свободи студента важко хвостить. Квадратура це підкреслює, що важкість. Таким чином, суми будуть більш косими - зазвичай набагато скошеними - ніж суми квадратних нормалей (розподіл ). Розрахунки та моделювання це підтверджують. $t$ $\chi^2$

Ілюстрація (за запитом)

alt текст

$n$ $k$ $n=9999$ $\chi^2$ $T$ $\chi^2$

$n \lt 5$ $n \le 4$

— дзижчати
джерело

Я цього боявся, але думав, що підведення підсумків дещо принесе хвости.

— shabbychef

n

$n$

k

$k$

χ^{2} (k)

$\chi^2(k)$

k (n)

$k(n)$

k

$k$

n

$n$

@Dmitrij Моделювання швидко проходять (потрібно більше часу, щоб намалювати гістограми), тому я додав 12 з них.

— качан

+1 для фігури. Ілюстрації завжди приємно бачити.

— Дмитро Челов

7

$k$

$\dfrac{T-kE(t_1)^2}{\sqrt{kVar(t_1^2)}}\sim N(0,1)$

$Et_1^2$ $Var(t_1^2)$ $n$ $t_1^2$ $1$ $n$

$\dfrac{T-k\frac{n}{n-2}}{\sqrt{k\frac{2n^2(n-1)}{(n-2)^2(n-4)}}}\sim N(0,1)$

— mpiktas
джерело

1

T ^ 2: (f - d + 1) / fd T ^ 2 ∼ F (d, f + 1 - d)

— DWin

1

T^{2}

$T^2$

T

$T$

T^{2}

$T^2$

F (1, n) + F (1, n)

$F(1,n)+F(1,n)$

Я вважаю, що це зводиться до вашої ситуації, коли матриця дисперсії є діагональною. Позадіагональні елементи зразка повинні бути майже нульовими, якби зразки були з Normal, але можуть бути не нульовими, якщо з t. Тим не менш, ви попросили щось приблизне, тому я думаю, що відповідь, ймовірно, є F згідно з цим умовою.

— DWin

F (1, n)

$F(1,n)$

F

$F$