Зв'язок між тестом Макнемара та умовною логістичною регресією

Мене цікавить моделювання даних бінарних відповідей у ​​парних спостереженнях. Ми прагнемо зробити висновок про ефективність попереднього втручання в групі, потенційно коригуючи кілька коваріатів та визначивши, чи є модифікація ефекту групою, яка отримала особливо різну підготовку в рамках втручання.

Дані даних такої форми:

id phase resp
1  pre   1
1  post  0
2  pre   0
2  post  0
3  pre   1
3  post  0

І таблиця на випадок на інформацію про парні відповіді:$2 \times 2$

$$\begin{array}{cc|cc} & & \mbox{Pre} & \\ & & \mbox{Correct} & \mbox{Incorrect} \\ \hline \mbox{Post} & \mbox{Correct} & a & b&\\ & \mbox{Incorrect} & c& d&\\ \end{array}$$

Нас цікавить тест гіпотези: .$\mathcal{H}_0: \theta_c = 1$

Тест Макнемара дає: приH0(асимптотично). Це інтуїтивно зрозуміло, оскільки, під нульовим значенням, ми очікуємо, що однакова частка розбіжних пар (bіc) буде сприяти позитивному ефекту (b) або негативному ефекту (c). З імовірністю визначення позитивного випадку визначеноp=$Q = \frac{(b-c)^2}{b+c} \sim \chi^2_1$$\mathcal{H}_0$$b$$c$$b$$c$ іn=b+c. Шанси на спостереження за позитивною незгідною парою -$p =\frac{b}{b+c}$$n=b+c$ .$\frac{p}{1-p}=\frac{b}{c}$

З іншого боку, умовна логістична регресія використовує інший підхід для перевірки тієї ж гіпотези, максимізуючи умовну ймовірність:

$$\mathcal{L}(X ; \beta) = \prod_{j=1}^n \frac{\exp(\beta X_{j,2})}{\exp(\beta X_{j,1}) + \exp(\beta X_{j,2})}$$

де .$\exp(\beta) = \theta_c$

Отже, який зв’язок між цими тестами? Як можна зробити простий тест таблиці надзвичайних ситуацій, представленої раніше? Дивлячись на калібрування р-значень із клітору та підходів МакНемара під нуль, ви б могли подумати, що вони абсолютно не пов'язані!

library(survival)
n <- 100
do.one <- function(n) {
  id <- rep(1:n, each=2)
  ph <- rep(0:1, times=n)
  rs <- rbinom(n*2, 1, 0.5)
  c(
    'pclogit' = coef(summary(clogit(rs ~ ph + strata(id))))[5],
    'pmctest' = mcnemar.test(table(ph,rs))$p.value
  )
}

out <- replicate(1000, do.one(n))
plot(t(out), main='Calibration plot of pvalues for McNemar and Clogit tests', 
  xlab='p-value McNemar', ylab='p-value conditional logistic regression')

Вибачте, це стара проблема, я натрапив на це випадково.

У вашому коді є помилка для тесту mcnemar. Спробуйте:

n <- 100
do.one <- function(n) {
  id <- rep(1:n, each=2)
  case <- rep(0:1, times=n)
  rs <- rbinom(n*2, 1, 0.5)
  c(
    'pclogit' = coef(summary(clogit(case ~ rs + strata(id))))[5],
    'pmctest' = mcnemar.test(table(rs[case == 0], rs[case == 1]))$p.value
  )
}

out <- replicate(1000, do.one(n))

Існує 2 конкуруючі статистичні моделі. Модель №1 (нульова гіпотеза, МакНемар): ймовірність правильна до неправильної = ймовірність неправильного виправлення = 0,5 або еквівалент b = c. Модель №2: ймовірність правильна до неправильної <ймовірність неправильної правильної або еквівалентної b> c. Для моделі №2 ми використовуємо метод максимальної ймовірності та логістичну регресію для визначення параметрів моделі, що представляють модель 2. Статистичні методи виглядають по-різному, оскільки кожен метод відображає іншу модель.